Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41814 / 9958
↖ ↑ ↗
← N 77.188870°
E 49.691162°		 ← 135.43 m → N 77.188870°
E 49.696655°		 →
↑
135.45 m
↓
↑
135.45 m
↓
N 77.187652°
E 49.691162°		 ← 135.45 m →
18 345 m²		 N 77.187652°
E 49.696655°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9958 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638038635253906 y=0.151954650878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638038635253906 × 216)
    floor (0.638038635253906 × 65536)
    floor (41814.5)     		tx = 41814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151954650878906 × 216)
    floor (0.151954650878906 × 65536)
    floor (9958.5)     		ty = 9958
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41814 / 9958 ti = "16/41814/9958"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41814/9958.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41814 ÷ 216
    41814 ÷ 65536     		x = 0.638031005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9958 ÷ 216
    9958 ÷ 65536     		y = 0.151947021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638031005859375 × 2 - 1) × π
    0.27606201171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.86727439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151947021484375 × 2 - 1) × π
    0.69610595703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.18688136066696
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86727439} λ = 0.86727439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18688136066696))-π/2
    2×atan(8.90739081404052)-π/2
    2×1.45899812841977-π/2
    2.91799625683955-1.57079632675     		φ = 1.34719993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86727439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.691162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34719993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.188870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41814 KachelY 9958 0.86727439 1.34719993 49.691162 77.188870
    Oben rechts KachelX + 1 41815 KachelY 9958 0.86737026 1.34719993 49.696655 77.188870
    Unten links KachelX 41814 KachelY + 1 9959 0.86727439 1.34717867 49.691162 77.187652
    Unten rechts KachelX + 1 41815 KachelY + 1 9959 0.86737026 1.34717867 49.696655 77.187652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34719993-1.34717867) × R
    2.12600000000229e-05 × 6371000     		dl = 135.447460000146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34719993-1.34717867) × R
    2.12600000000229e-05 × 6371000     		dr = 135.447460000146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86727439-0.86737026) × cos(1.34719993) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.2217379186769 × 6371000     		do = 135.434808873102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86727439-0.86737026) × cos(1.34717867) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.221758649386716 × 6371000     		du = 135.447470937121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34719993)-sin(1.34717867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.2217379186769-0.221758649386716)×R²
    abs(0.86737026-0.86727439)×2.07307098154808e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.07307098154808e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.07307098154808e-05×40589641000000     		ar = 18345.1583802768m²