Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41810 / 10246
↖ ↑ ↗
← N 76.833311°
E 49.669189°		 ← 139.14 m → N 76.833311°
E 49.674683°		 →
↑
139.14 m
↓
↑
139.14 m
↓
N 76.832060°
E 49.669189°		 ← 139.16 m →
19 362 m²		 N 76.832060°
E 49.674683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41810 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10246 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637977600097656 y=0.156349182128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637977600097656 × 216)
    floor (0.637977600097656 × 65536)
    floor (41810.5)     		tx = 41810
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156349182128906 × 216)
    floor (0.156349182128906 × 65536)
    floor (10246.5)     		ty = 10246
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41810 / 10246 ti = "16/41810/10246"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41810/10246.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41810 ÷ 216
    41810 ÷ 65536     		x = 0.637969970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10246 ÷ 216
    10246 ÷ 65536     		y = 0.156341552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.637969970703125 × 2 - 1) × π
    0.27593994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.86689089
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156341552734375 × 2 - 1) × π
    0.68731689453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.15926970648581
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86689089} λ = 0.86689089}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15926970648581))-π/2
    2×atan(8.66480749459097)-π/2
    2×1.4558952891273-π/2
    2.91179057825459-1.57079632675     		φ = 1.34099425
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86689089} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.669189°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34099425 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.833311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41810 KachelY 10246 0.86689089 1.34099425 49.669189 76.833311
    Oben rechts KachelX + 1 41811 KachelY 10246 0.86698677 1.34099425 49.674683 76.833311
    Unten links KachelX 41810 KachelY + 1 10247 0.86689089 1.34097241 49.669189 76.832060
    Unten rechts KachelX + 1 41811 KachelY + 1 10247 0.86698677 1.34097241 49.674683 76.832060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34099425-1.34097241) × R
    2.18400000000507e-05 × 6371000     		dl = 139.142640000323m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34099425-1.34097241) × R
    2.18400000000507e-05 × 6371000     		dr = 139.142640000323m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86689089-0.86698677) × cos(1.34099425) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.227784807897496 × 6371000     		do = 139.142687025771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86689089-0.86698677) × cos(1.34097241) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.227806073702285 × 6371000     		du = 139.1556772741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34099425)-sin(1.34097241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227784807897496-0.227806073702285)×R²
    abs(0.86698677-0.86689089)×2.12658047891445e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.12658047891445e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.12658047891445e-05×40589641000000     		ar = 19361.5845588747m²