Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4181 / 3785
↖ ↑ ↗
← N 79.794799°
W134.066162°		 ← 216.43 m → N 79.794799°
W134.055176°		 →
↑
216.42 m
↓
↑
216.42 m
↓
N 79.792852°
W134.066162°		 ← 216.47 m →
46 845 m²		 N 79.792852°
W134.055176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4181 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127609252929688 y=0.115524291992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127609252929688 × 215)
    floor (0.127609252929688 × 32768)
    floor (4181.5)     		tx = 4181
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115524291992188 × 215)
    floor (0.115524291992188 × 32768)
    floor (3785.5)     		ty = 3785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4181 / 3785 ti = "15/4181/3785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4181/3785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4181 ÷ 215
    4181 ÷ 32768     		x = 0.127593994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3785 ÷ 215
    3785 ÷ 32768     		y = 0.115509033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127593994140625 × 2 - 1) × π
    -0.74481201171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.33989594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115509033203125 × 2 - 1) × π
    0.76898193359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.41582799325235
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33989594} λ = -2.33989594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41582799325235))-π/2
    2×atan(11.1990392486642)-π/2
    2×1.48173914503745-π/2
    2.9634782900749-1.57079632675     		φ = 1.39268196
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33989594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.066162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39268196 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.794799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4181 KachelY 3785 -2.33989594 1.39268196 -134.066162 79.794799
    Oben rechts KachelX + 1 4182 KachelY 3785 -2.33970420 1.39268196 -134.055176 79.794799
    Unten links KachelX 4181 KachelY + 1 3786 -2.33989594 1.39264799 -134.066162 79.792852
    Unten rechts KachelX + 1 4182 KachelY + 1 3786 -2.33970420 1.39264799 -134.055176 79.792852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39268196-1.39264799) × R
    3.39700000000498e-05 × 6371000     		dl = 216.422870000317m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39268196-1.39264799) × R
    3.39700000000498e-05 × 6371000     		dr = 216.422870000317m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33989594--2.33970420) × cos(1.39268196) × R
    0.000191739999999996 × 0.17717408790964 × 6371000     		do = 216.431532112221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33989594--2.33970420) × cos(1.39264799) × R
    0.000191739999999996 × 0.177207520385961 × 6371000     		du = 216.472372407536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39268196)-sin(1.39264799))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17717408790964-0.177207520385961)×R²
    abs(-2.33970420--2.33989594)×3.34324763206773e-05×R²
    0.000191739999999996×3.34324763206773e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.34324763206773e-05×40589641000000     		ar = 46845.1527295867m²