Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41809 / 10225
↖ ↑ ↗
← N 76.859562°
E 49.663696°		 ← 138.86 m → N 76.859562°
E 49.669189°		 →
↑
138.82 m
↓
↑
138.82 m
↓
N 76.858313°
E 49.663696°		 ← 138.87 m →
19 277 m²		 N 76.858313°
E 49.669189°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41809 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637962341308594 y=0.156028747558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637962341308594 × 216)
    floor (0.637962341308594 × 65536)
    floor (41809.5)     		tx = 41809
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156028747558594 × 216)
    floor (0.156028747558594 × 65536)
    floor (10225.5)     		ty = 10225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41809 / 10225 ti = "16/41809/10225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41809/10225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41809 ÷ 216
    41809 ÷ 65536     		x = 0.637954711914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10225 ÷ 216
    10225 ÷ 65536     		y = 0.156021118164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.637954711914062 × 2 - 1) × π
    0.275909423828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.86679502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156021118164062 × 2 - 1) × π
    0.687957763671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.16128305626985
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86679502} λ = 0.86679502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16128305626985))-π/2
    2×atan(8.68227035641459)-π/2
    2×1.45612436974404-π/2
    2.91224873948809-1.57079632675     		φ = 1.34145241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86679502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.663696°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34145241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.859562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41809 KachelY 10225 0.86679502 1.34145241 49.663696 76.859562
    Oben rechts KachelX + 1 41810 KachelY 10225 0.86689089 1.34145241 49.669189 76.859562
    Unten links KachelX 41809 KachelY + 1 10226 0.86679502 1.34143062 49.663696 76.858313
    Unten rechts KachelX + 1 41810 KachelY + 1 10226 0.86689089 1.34143062 49.669189 76.858313
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34145241-1.34143062) × R
    2.17900000001325e-05 × 6371000     		dl = 138.824090000844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34145241-1.34143062) × R
    2.17900000001325e-05 × 6371000     		dr = 138.824090000844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86679502-0.86689089) × cos(1.34145241) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.22733866834597 × 6371000     		do = 138.855678273802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86679502-0.86689089) × cos(1.34143062) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.227359887737357 × 6371000     		du = 138.868638818548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34145241)-sin(1.34143062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22733866834597-0.227359887737357)×R²
    abs(0.86689089-0.86679502)×2.12193913872727e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.12193913872727e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.12193913872727e-05×40589641000000     		ar = 19277.4127963363m²