Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41804 / 9976
↖ ↑ ↗
← N 77.166927°
E 49.636230°		 ← 135.66 m → N 77.166927°
E 49.641723°		 →
↑
135.70 m
↓
↑
135.70 m
↓
N 77.165707°
E 49.636230°		 ← 135.68 m →
18 411 m²		 N 77.165707°
E 49.641723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637886047363281 y=0.152229309082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637886047363281 × 216)
    floor (0.637886047363281 × 65536)
    floor (41804.5)     		tx = 41804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152229309082031 × 216)
    floor (0.152229309082031 × 65536)
    floor (9976.5)     		ty = 9976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41804 / 9976 ti = "16/41804/9976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41804/9976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41804 ÷ 216
    41804 ÷ 65536     		x = 0.63787841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9976 ÷ 216
    9976 ÷ 65536     		y = 0.1522216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63787841796875 × 2 - 1) × π
    0.2757568359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.86631565
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1522216796875 × 2 - 1) × π
    0.695556640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.18515563228064
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86631565} λ = 0.86631565}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18515563228064))-π/2
    2×atan(8.89203233295969)-π/2
    2×1.45880663764205-π/2
    2.91761327528409-1.57079632675     		φ = 1.34681695
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86631565} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.636230°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34681695 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.166927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41804 KachelY 9976 0.86631565 1.34681695 49.636230 77.166927
    Oben rechts KachelX + 1 41805 KachelY 9976 0.86641152 1.34681695 49.641723 77.166927
    Unten links KachelX 41804 KachelY + 1 9977 0.86631565 1.34679565 49.636230 77.165707
    Unten rechts KachelX + 1 41805 KachelY + 1 9977 0.86641152 1.34679565 49.641723 77.165707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34681695-1.34679565) × R
    2.13000000000019e-05 × 6371000     		dl = 135.702300000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34681695-1.34679565) × R
    2.13000000000019e-05 × 6371000     		dr = 135.702300000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86631565-0.86641152) × cos(1.34681695) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.222111348616814 × 6371000     		do = 135.662895313354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86631565-0.86641152) × cos(1.34679565) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.222132116520264 × 6371000     		du = 135.675580094789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34681695)-sin(1.34679565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222111348616814-0.222132116520264)×R²
    abs(0.86641152-0.86631565)×2.07679034495145e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.07679034495145e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.07679034495145e-05×40589641000000     		ar = 18410.62759641m²