Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41802 / 10250
↖ ↑ ↗
← N 76.828305°
E 49.625244°		 ← 139.19 m → N 76.828305°
E 49.630738°		 →
↑
139.21 m
↓
↑
139.21 m
↓
N 76.827053°
E 49.625244°		 ← 139.21 m →
19 378 m²		 N 76.827053°
E 49.630738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637855529785156 y=0.156410217285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637855529785156 × 216)
    floor (0.637855529785156 × 65536)
    floor (41802.5)     		tx = 41802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156410217285156 × 216)
    floor (0.156410217285156 × 65536)
    floor (10250.5)     		ty = 10250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41802 / 10250 ti = "16/41802/10250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41802/10250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41802 ÷ 216
    41802 ÷ 65536     		x = 0.637847900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10250 ÷ 216
    10250 ÷ 65536     		y = 0.156402587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.637847900390625 × 2 - 1) × π
    0.27569580078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.86612390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156402587890625 × 2 - 1) × π
    0.68719482421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.15888621128885
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86612390} λ = 0.86612390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15888621128885))-π/2
    2×atan(8.66148521961318)-π/2
    2×1.45585160378189-π/2
    2.91170320756379-1.57079632675     		φ = 1.34090688
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86612390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.625244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34090688 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.828305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41802 KachelY 10250 0.86612390 1.34090688 49.625244 76.828305
    Oben rechts KachelX + 1 41803 KachelY 10250 0.86621978 1.34090688 49.630738 76.828305
    Unten links KachelX 41802 KachelY + 1 10251 0.86612390 1.34088503 49.625244 76.827053
    Unten rechts KachelX + 1 41803 KachelY + 1 10251 0.86621978 1.34088503 49.630738 76.827053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34090688-1.34088503) × R
    2.18499999999899e-05 × 6371000     		dl = 139.206349999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34090688-1.34088503) × R
    2.18499999999899e-05 × 6371000     		dr = 139.206349999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86612390-0.86621978) × cos(1.34090688) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.227869880201567 × 6371000     		do = 139.19465356862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86612390-0.86621978) × cos(1.34088503) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.22789115530847 × 6371000     		du = 139.207649499159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34090688)-sin(1.34088503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227869880201567-0.22789115530847)×R²
    abs(0.86621978-0.86612390)×2.12751069036954e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.12751069036954e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.12751069036954e-05×40589641000000     		ar = 19377.6842213516m²