Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41801 / 9944
↖ ↑ ↗
← N 77.205912°
E 49.619751°		 ← 135.26 m → N 77.205912°
E 49.625244°		 →
↑
135.26 m
↓
↑
135.26 m
↓
N 77.204695°
E 49.619751°		 ← 135.27 m →
18 295 m²		 N 77.204695°
E 49.625244°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41801 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637840270996094 y=0.151741027832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637840270996094 × 216)
    floor (0.637840270996094 × 65536)
    floor (41801.5)     		tx = 41801
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151741027832031 × 216)
    floor (0.151741027832031 × 65536)
    floor (9944.5)     		ty = 9944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41801 / 9944 ti = "16/41801/9944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41801/9944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41801 ÷ 216
    41801 ÷ 65536     		x = 0.637832641601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9944 ÷ 216
    9944 ÷ 65536     		y = 0.1517333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.637832641601562 × 2 - 1) × π
    0.275665283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.86602803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1517333984375 × 2 - 1) × π
    0.696533203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.18822359385632
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86602803} λ = 0.86602803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18822359385632))-π/2
    2×atan(8.91935463694567)-π/2
    2×1.45914684307286-π/2
    2.91829368614571-1.57079632675     		φ = 1.34749736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86602803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.619751°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34749736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.205912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41801 KachelY 9944 0.86602803 1.34749736 49.619751 77.205912
    Oben rechts KachelX + 1 41802 KachelY 9944 0.86612390 1.34749736 49.625244 77.205912
    Unten links KachelX 41801 KachelY + 1 9945 0.86602803 1.34747613 49.619751 77.204695
    Unten rechts KachelX + 1 41802 KachelY + 1 9945 0.86612390 1.34747613 49.625244 77.204695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34749736-1.34747613) × R
    2.12299999999832e-05 × 6371000     		dl = 135.256329999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34749736-1.34747613) × R
    2.12299999999832e-05 × 6371000     		dr = 135.256329999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86602803-0.86612390) × cos(1.34749736) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.221447883006523 × 6371000     		do = 135.257658632772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86602803-0.86612390) × cos(1.34747613) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.221468585862591 × 6371000     		du = 135.270303684062m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34749736)-sin(1.34747613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221447883006523-0.221468585862591)×R²
    abs(0.86612390-0.86602803)×2.07028560680056e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.07028560680056e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.07028560680056e-05×40589641000000     		ar = 18295.3096733615m²