Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 4180 / 12439
↖ ↑ ↗
← N 39.715638°
W134.077148°		 ← 939.72 m → N 39.715638°
W134.066162°		 →
↑
939.79 m
↓
↑
939.79 m
↓
N 39.707186°
W134.077148°		 ← 939.83 m →
883 186 m²		 N 39.707186°
W134.066162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127578735351562 y=0.379623413085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127578735351562 × 215)
    floor (0.127578735351562 × 32768)
    floor (4180.5)     		tx = 4180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379623413085938 × 215)
    floor (0.379623413085938 × 32768)
    floor (12439.5)     		ty = 12439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4180 / 12439 ti = "15/4180/12439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4180/12439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4180 ÷ 215
    4180 ÷ 32768     		x = 0.1275634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12439 ÷ 215
    12439 ÷ 32768     		y = 0.379608154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1275634765625 × 2 - 1) × π
    -0.744873046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.34008769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379608154296875 × 2 - 1) × π
    0.24078369140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.756444276004486
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34008769} λ = -2.34008769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.756444276004486))-π/2
    2×atan(2.13068660172176)-π/2
    2×1.13198248838054-π/2
    2.26396497676108-1.57079632675     		φ = 0.69316865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34008769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.077148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69316865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.715638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4180 KachelY 12439 -2.34008769 0.69316865 -134.077148 39.715638
    Oben rechts KachelX + 1 4181 KachelY 12439 -2.33989594 0.69316865 -134.066162 39.715638
    Unten links KachelX 4180 KachelY + 1 12440 -2.34008769 0.69302114 -134.077148 39.707186
    Unten rechts KachelX + 1 4181 KachelY + 1 12440 -2.33989594 0.69302114 -134.066162 39.707186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69316865-0.69302114) × R
    0.000147510000000017 × 6371000     		dl = 939.78621000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69316865-0.69302114) × R
    0.000147510000000017 × 6371000     		dr = 939.78621000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34008769--2.33989594) × cos(0.69316865) × R
    0.000191749999999935 × 0.769225183045869 × 6371000     		do = 939.715675696949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34008769--2.33989594) × cos(0.69302114) × R
    0.000191749999999935 × 0.769319430290659 × 6371000     		du = 939.830811830389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69316865)-sin(0.69302114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769225183045869-0.769319430290659)×R²
    abs(-2.33989594--2.34008769)×9.42472447897913e-05×R²
    0.000191749999999935×9.42472447897913e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.42472447897913e-05×40589641000000     		ar = 883185.936617684m²