Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41799 / 9942
↖ ↑ ↗
← N 77.208344°
E 49.608765°		 ← 135.23 m → N 77.208344°
E 49.614258°		 →
↑
135.26 m
↓
↑
135.26 m
↓
N 77.207128°
E 49.608765°		 ← 135.25 m →
18 292 m²		 N 77.207128°
E 49.614258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637809753417969 y=0.151710510253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637809753417969 × 216)
    floor (0.637809753417969 × 65536)
    floor (41799.5)     		tx = 41799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151710510253906 × 216)
    floor (0.151710510253906 × 65536)
    floor (9942.5)     		ty = 9942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41799 / 9942 ti = "16/41799/9942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41799/9942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41799 ÷ 216
    41799 ÷ 65536     		x = 0.637802124023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9942 ÷ 216
    9942 ÷ 65536     		y = 0.151702880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.637802124023438 × 2 - 1) × π
    0.275604248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.86583628
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151702880859375 × 2 - 1) × π
    0.69659423828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.1884153414548
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86583628} λ = 0.86583628}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1884153414548))-π/2
    2×atan(8.92106506575736)-π/2
    2×1.45916807213795-π/2
    2.91833614427589-1.57079632675     		φ = 1.34753982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86583628} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.608765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34753982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.208344°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41799 KachelY 9942 0.86583628 1.34753982 49.608765 77.208344
    Oben rechts KachelX + 1 41800 KachelY 9942 0.86593215 1.34753982 49.614258 77.208344
    Unten links KachelX 41799 KachelY + 1 9943 0.86583628 1.34751859 49.608765 77.207128
    Unten rechts KachelX + 1 41800 KachelY + 1 9943 0.86593215 1.34751859 49.614258 77.207128
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34753982-1.34751859) × R
    2.12299999999832e-05 × 6371000     		dl = 135.256329999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34753982-1.34751859) × R
    2.12299999999832e-05 × 6371000     		dr = 135.256329999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86583628-0.86593215) × cos(1.34753982) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.221406476994968 × 6371000     		do = 135.23236834731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86583628-0.86593215) × cos(1.34751859) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.221427180050645 × 6371000     		du = 135.245013520519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34753982)-sin(1.34751859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221406476994968-0.221427180050645)×R²
    abs(0.86593215-0.86583628)×2.07030556775012e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.07030556775012e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.07030556775012e-05×40589641000000     		ar = 18291.8890104298m²