Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41797 / 9947
↖ ↑ ↗
← N 77.202262°
E 49.597778°		 ← 135.31 m → N 77.202262°
E 49.603272°		 →
↑
135.32 m
↓
↑
135.32 m
↓
N 77.201045°
E 49.597778°		 ← 135.32 m →
18 311 m²		 N 77.201045°
E 49.603272°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41797 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637779235839844 y=0.151786804199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637779235839844 × 216)
    floor (0.637779235839844 × 65536)
    floor (41797.5)     		tx = 41797
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151786804199219 × 216)
    floor (0.151786804199219 × 65536)
    floor (9947.5)     		ty = 9947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41797 / 9947 ti = "16/41797/9947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41797/9947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41797 ÷ 216
    41797 ÷ 65536     		x = 0.637771606445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9947 ÷ 216
    9947 ÷ 65536     		y = 0.151779174804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.637771606445312 × 2 - 1) × π
    0.275543212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.86564453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151779174804688 × 2 - 1) × π
    0.696441650390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.1879359724586
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86564453} λ = 0.86564453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1879359724586))-π/2
    2×atan(8.91678960859443)-π/2
    2×1.45911499203138-π/2
    2.91822998406277-1.57079632675     		φ = 1.34743366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86564453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.597778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34743366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.202262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41797 KachelY 9947 0.86564453 1.34743366 49.597778 77.202262
    Oben rechts KachelX + 1 41798 KachelY 9947 0.86574041 1.34743366 49.603272 77.202262
    Unten links KachelX 41797 KachelY + 1 9948 0.86564453 1.34741242 49.597778 77.201045
    Unten rechts KachelX + 1 41798 KachelY + 1 9948 0.86574041 1.34741242 49.603272 77.201045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34743366-1.34741242) × R
    2.12400000001445e-05 × 6371000     		dl = 135.32004000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34743366-1.34741242) × R
    2.12400000001445e-05 × 6371000     		dr = 135.32004000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86564453-0.86574041) × cos(1.34743366) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.221510001026842 × 6371000     		do = 135.309711962116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86564453-0.86574041) × cos(1.34741242) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.221530713334913 × 6371000     		du = 135.322364106155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34743366)-sin(1.34741242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221510001026842-0.221530713334913)×R²
    abs(0.86574041-0.86564453)×2.07123080708527e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.07123080708527e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.07123080708527e-05×40589641000000     		ar = 18310.9716805584m²