Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41797 / 10163
↖ ↑ ↗
← N 76.936764°
E 49.597778°		 ← 138.07 m → N 76.936764°
E 49.603272°		 →
↑
138.06 m
↓
↑
138.06 m
↓
N 76.935523°
E 49.597778°		 ← 138.08 m →
19 063 m²		 N 76.935523°
E 49.603272°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41797 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637779235839844 y=0.155082702636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637779235839844 × 216)
    floor (0.637779235839844 × 65536)
    floor (41797.5)     		tx = 41797
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155082702636719 × 216)
    floor (0.155082702636719 × 65536)
    floor (10163.5)     		ty = 10163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41797 / 10163 ti = "16/41797/10163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41797/10163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41797 ÷ 216
    41797 ÷ 65536     		x = 0.637771606445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10163 ÷ 216
    10163 ÷ 65536     		y = 0.155075073242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.637771606445312 × 2 - 1) × π
    0.275543212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.86564453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155075073242188 × 2 - 1) × π
    0.689849853515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.16722723182274
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86564453} λ = 0.86564453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16722723182274))-π/2
    2×atan(8.73403298627862)-π/2
    2×1.45679808820722-π/2
    2.91359617641445-1.57079632675     		φ = 1.34279985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86564453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.597778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34279985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.936764°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41797 KachelY 10163 0.86564453 1.34279985 49.597778 76.936764
    Oben rechts KachelX + 1 41798 KachelY 10163 0.86574041 1.34279985 49.603272 76.936764
    Unten links KachelX 41797 KachelY + 1 10164 0.86564453 1.34277818 49.597778 76.935523
    Unten rechts KachelX + 1 41798 KachelY + 1 10164 0.86574041 1.34277818 49.603272 76.935523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34279985-1.34277818) × R
    2.16699999999737e-05 × 6371000     		dl = 138.059569999832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34279985-1.34277818) × R
    2.16699999999737e-05 × 6371000     		dr = 138.059569999832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86564453-0.86574041) × cos(1.34279985) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.226026304061128 × 6371000     		do = 138.06850235474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86564453-0.86574041) × cos(1.34277818) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.226047413214434 × 6371000     		du = 138.081396912278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34279985)-sin(1.34277818))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226026304061128-0.226047413214434)×R²
    abs(0.86574041-0.86564453)×2.11091533057206e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.11091533057206e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.11091533057206e-05×40589641000000     		ar = 19062.5681748147m²