Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4179 / 12461
↖ ↑ ↗
← N 39.529466°
W134.088135°		 ← 942.25 m → N 39.529466°
W134.077148°		 →
↑
942.27 m
↓
↑
942.27 m
↓
N 39.520992°
W134.088135°		 ← 942.36 m →
887 906 m²		 N 39.520992°
W134.077148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127548217773438 y=0.380294799804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127548217773438 × 215)
    floor (0.127548217773438 × 32768)
    floor (4179.5)     		tx = 4179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.380294799804688 × 215)
    floor (0.380294799804688 × 32768)
    floor (12461.5)     		ty = 12461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4179 / 12461 ti = "15/4179/12461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4179/12461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4179 ÷ 215
    4179 ÷ 32768     		x = 0.127532958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12461 ÷ 215
    12461 ÷ 32768     		y = 0.380279541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127532958984375 × 2 - 1) × π
    -0.74493408203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.34027944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.380279541015625 × 2 - 1) × π
    0.23944091796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.752225828837921
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34027944} λ = -2.34027944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.752225828837921))-π/2
    2×atan(2.12171734433398)-π/2
    2×1.13035783469816-π/2
    2.26071566939631-1.57079632675     		φ = 0.68991934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34027944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.088135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68991934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.529466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4179 KachelY 12461 -2.34027944 0.68991934 -134.088135 39.529466
    Oben rechts KachelX + 1 4180 KachelY 12461 -2.34008769 0.68991934 -134.077148 39.529466
    Unten links KachelX 4179 KachelY + 1 12462 -2.34027944 0.68977144 -134.088135 39.520992
    Unten rechts KachelX + 1 4180 KachelY + 1 12462 -2.34008769 0.68977144 -134.077148 39.520992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68991934-0.68977144) × R
    0.000147899999999979 × 6371000     		dl = 942.270899999864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68991934-0.68977144) × R
    0.000147899999999979 × 6371000     		dr = 942.270899999864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34027944--2.34008769) × cos(0.68991934) × R
    0.000191750000000379 × 0.771297355577292 × 6371000     		do = 942.247122996289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34027944--2.34008769) × cos(0.68977144) × R
    0.000191750000000379 × 0.771391481789389 × 6371000     		du = 942.36211127144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68991934)-sin(0.68977144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771297355577292-0.771391481789389)×R²
    abs(-2.34008769--2.34027944)×9.41262120965902e-05×R²
    0.000191750000000379×9.41262120965902e-05×6371000²
    0.000191750000000379×9.41262120965902e-05×40589641000000     		ar = 887906.221279811m²