Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4178 / 12442
↖ ↑ ↗
← N 39.690281°
W134.099121°		 ← 940.06 m → N 39.690281°
W134.088135°		 →
↑
940.10 m
↓
↑
940.10 m
↓
N 39.681826°
W134.099121°		 ← 940.18 m →
883 810 m²		 N 39.681826°
W134.088135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127517700195312 y=0.379714965820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127517700195312 × 215)
    floor (0.127517700195312 × 32768)
    floor (4178.5)     		tx = 4178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379714965820312 × 215)
    floor (0.379714965820312 × 32768)
    floor (12442.5)     		ty = 12442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4178 / 12442 ti = "15/4178/12442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4178/12442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4178 ÷ 215
    4178 ÷ 32768     		x = 0.12750244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12442 ÷ 215
    12442 ÷ 32768     		y = 0.37969970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12750244140625 × 2 - 1) × π
    -0.7449951171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.34047119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37969970703125 × 2 - 1) × π
    0.2406005859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.755869033209045
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34047119} λ = -2.34047119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.755869033209045))-π/2
    2×atan(2.12946129206385)-π/2
    2×1.13176120209913-π/2
    2.26352240419826-1.57079632675     		φ = 0.69272608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34047119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.099121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69272608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.690281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4178 KachelY 12442 -2.34047119 0.69272608 -134.099121 39.690281
    Oben rechts KachelX + 1 4179 KachelY 12442 -2.34027944 0.69272608 -134.088135 39.690281
    Unten links KachelX 4178 KachelY + 1 12443 -2.34047119 0.69257852 -134.099121 39.681826
    Unten rechts KachelX + 1 4179 KachelY + 1 12443 -2.34027944 0.69257852 -134.088135 39.681826
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69272608-0.69257852) × R
    0.000147560000000047 × 6371000     		dl = 940.104760000297m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69272608-0.69257852) × R
    0.000147560000000047 × 6371000     		dr = 940.104760000297m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34047119--2.34027944) × cos(0.69272608) × R
    0.000191749999999935 × 0.769507900104354 × 6371000     		do = 940.061053952239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34047119--2.34027944) × cos(0.69257852) × R
    0.000191749999999935 × 0.769602129045314 × 6371000     		du = 940.176167725002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69272608)-sin(0.69257852))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769507900104354-0.769602129045314)×R²
    abs(-2.34027944--2.34047119)×9.42289409598951e-05×R²
    0.000191749999999935×9.42289409598951e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.42289409598951e-05×40589641000000     		ar = 883809.982617802m²