Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41777 / 10191
↖ ↑ ↗
← N 76.901954°
E 49.487915°		 ← 138.42 m → N 76.901954°
E 49.493408°		 →
↑
138.44 m
↓
↑
138.44 m
↓
N 76.900709°
E 49.487915°		 ← 138.43 m →
19 163 m²		 N 76.900709°
E 49.493408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41777 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637474060058594 y=0.155509948730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637474060058594 × 216)
    floor (0.637474060058594 × 65536)
    floor (41777.5)     		tx = 41777
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155509948730469 × 216)
    floor (0.155509948730469 × 65536)
    floor (10191.5)     		ty = 10191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41777 / 10191 ti = "16/41777/10191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41777/10191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41777 ÷ 216
    41777 ÷ 65536     		x = 0.637466430664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10191 ÷ 216
    10191 ÷ 65536     		y = 0.155502319335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.637466430664062 × 2 - 1) × π
    0.274932861328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.86372706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155502319335938 × 2 - 1) × π
    0.688995361328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.16454276544402
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86372706} λ = 0.86372706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16454276544402))-π/2
    2×atan(8.71061821052671)-π/2
    2×1.45649431120374-π/2
    2.91298862240748-1.57079632675     		φ = 1.34219230
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86372706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.487915°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34219230 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.901954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41777 KachelY 10191 0.86372706 1.34219230 49.487915 76.901954
    Oben rechts KachelX + 1 41778 KachelY 10191 0.86382293 1.34219230 49.493408 76.901954
    Unten links KachelX 41777 KachelY + 1 10192 0.86372706 1.34217057 49.487915 76.900709
    Unten rechts KachelX + 1 41778 KachelY + 1 10192 0.86382293 1.34217057 49.493408 76.900709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34219230-1.34217057) × R
    2.17300000000531e-05 × 6371000     		dl = 138.441830000338m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34219230-1.34217057) × R
    2.17300000000531e-05 × 6371000     		dr = 138.441830000338m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86372706-0.86382293) × cos(1.34219230) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.226618089643951 × 6371000     		do = 138.415557615286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86372706-0.86382293) × cos(1.34217057) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.226639254256175 × 6371000     		du = 138.428484701589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34219230)-sin(1.34217057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226618089643951-0.226639254256175)×R²
    abs(0.86382293-0.86372706)×2.11646122240394e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.11646122240394e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.11646122240394e-05×40589641000000     		ar = 19163.3979224927m²