Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41776 / 10192
↖ ↑ ↗
← N 76.900709°
E 49.482422°		 ← 138.44 m → N 76.900709°
E 49.487915°		 →
↑
138.44 m
↓
↑
138.44 m
↓
N 76.899464°
E 49.482422°		 ← 138.46 m →
19 167 m²		 N 76.899464°
E 49.487915°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10192 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637458801269531 y=0.155525207519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637458801269531 × 216)
    floor (0.637458801269531 × 65536)
    floor (41776.5)     		tx = 41776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155525207519531 × 216)
    floor (0.155525207519531 × 65536)
    floor (10192.5)     		ty = 10192
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41776 / 10192 ti = "16/41776/10192"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41776/10192.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41776 ÷ 216
    41776 ÷ 65536     		x = 0.637451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10192 ÷ 216
    10192 ÷ 65536     		y = 0.155517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.637451171875 × 2 - 1) × π
    0.27490234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.86363118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155517578125 × 2 - 1) × π
    0.68896484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.16444689164478
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86363118} λ = 0.86363118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16444689164478))-π/2
    2×atan(8.70978313049692)-π/2
    2×1.4564834473277-π/2
    2.91296689465539-1.57079632675     		φ = 1.34217057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86363118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.482422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34217057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.900709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41776 KachelY 10192 0.86363118 1.34217057 49.482422 76.900709
    Oben rechts KachelX + 1 41777 KachelY 10192 0.86372706 1.34217057 49.487915 76.900709
    Unten links KachelX 41776 KachelY + 1 10193 0.86363118 1.34214884 49.482422 76.899464
    Unten rechts KachelX + 1 41777 KachelY + 1 10193 0.86372706 1.34214884 49.487915 76.899464
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34217057-1.34214884) × R
    2.17300000000531e-05 × 6371000     		dl = 138.441830000338m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34217057-1.34214884) × R
    2.17300000000531e-05 × 6371000     		dr = 138.441830000338m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86363118-0.86372706) × cos(1.34217057) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.226639254256175 × 6371000     		do = 138.44292388839m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86363118-0.86372706) × cos(1.34214884) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.226660418761382 × 6371000     		du = 138.455852257719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34217057)-sin(1.34214884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226639254256175-0.226660418761382)×R²
    abs(0.86372706-0.86363118)×2.1164505206589e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.1164505206589e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.1164505206589e-05×40589641000000     		ar = 19167.1866479195m²