Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 41776 / 10190
N 76.903199°
E 49.482422°
← 138.42 m → N 76.903199°
E 49.487915°

138.38 m

138.38 m
N 76.901954°
E 49.482422°
← 138.43 m →
19 155 m²
N 76.901954°
E 49.487915°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637458801269531 y=0.155494689941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637458801269531 × 216)
    floor (0.637458801269531 × 65536)
    floor (41776.5)
    tx = 41776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155494689941406 × 216)
    floor (0.155494689941406 × 65536)
    floor (10190.5)
    ty = 10190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41776 / 10190 ti = "16/41776/10190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41776/10190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41776 ÷ 216
    41776 ÷ 65536
    x = 0.637451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10190 ÷ 216
    10190 ÷ 65536
    y = 0.155487060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.637451171875 × 2 - 1) × π
    0.27490234375 × 3.1415926535
    Λ = 0.86363118
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.155487060546875 × 2 - 1) × π
    0.68902587890625 × 3.1415926535
    Φ = 2.16463863924326
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86363118} λ = 0.86363118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16463863924326))-π/2
    2×atan(8.71145337062263)-π/2
    2×1.45650517406537-π/2
    2.91301034813073-1.57079632675
    φ = 1.34221402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86363118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.482422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34221402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.903199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41776 KachelY 10190 0.86363118 1.34221402 49.482422 76.903199
    Oben rechts KachelX + 1 41777 KachelY 10190 0.86372706 1.34221402 49.487915 76.903199
    Unten links KachelX 41776 KachelY + 1 10191 0.86363118 1.34219230 49.482422 76.901954
    Unten rechts KachelX + 1 41777 KachelY + 1 10191 0.86372706 1.34219230 49.487915 76.901954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.34221402-1.34219230) × R
    2.17199999998918e-05 × 6371000
    dl = 138.378119999311m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.34221402-1.34219230) × R
    2.17199999998918e-05 × 6371000
    dr = 138.378119999311m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.86363118-0.86372706) × cos(1.34221402) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.226596934664606 × 6371000
    do = 138.417072903247m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.86363118-0.86372706) × cos(1.34219230) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.226618089643951 × 6371000
    du = 138.429995453689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.34221402)-sin(1.34219230))×
    abs(λ12)×abs(0.226596934664606-0.226618089643951)×
    abs(0.86372706-0.86363118)×2.1154979345156e-05×
    9.58799999999371e-05×2.1154979345156e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.1154979345156e-05×40589641000000
    ar = 19154.7884238053m²