Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4177 / 12443
↖ ↑ ↗
← N 39.681826°
W134.110107°		 ← 940.13 m → N 39.681826°
W134.099121°		 →
↑
940.23 m
↓
↑
940.23 m
↓
N 39.673370°
W134.110107°		 ← 940.24 m →
883 992 m²		 N 39.673370°
W134.099121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4177 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127487182617188 y=0.379745483398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127487182617188 × 215)
    floor (0.127487182617188 × 32768)
    floor (4177.5)     		tx = 4177
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379745483398438 × 215)
    floor (0.379745483398438 × 32768)
    floor (12443.5)     		ty = 12443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4177 / 12443 ti = "15/4177/12443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4177/12443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4177 ÷ 215
    4177 ÷ 32768     		x = 0.127471923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12443 ÷ 215
    12443 ÷ 32768     		y = 0.379730224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127471923828125 × 2 - 1) × π
    -0.74505615234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.34066293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379730224609375 × 2 - 1) × π
    0.24053955078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.755677285610565
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34066293} λ = -2.34066293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.755677285610565))-π/2
    2×atan(2.12905301211964)-π/2
    2×1.13168742193595-π/2
    2.2633748438719-1.57079632675     		φ = 0.69257852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34066293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.110107°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69257852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.681826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4177 KachelY 12443 -2.34066293 0.69257852 -134.110107 39.681826
    Oben rechts KachelX + 1 4178 KachelY 12443 -2.34047119 0.69257852 -134.099121 39.681826
    Unten links KachelX 4177 KachelY + 1 12444 -2.34066293 0.69243094 -134.110107 39.673370
    Unten rechts KachelX + 1 4178 KachelY + 1 12444 -2.34047119 0.69243094 -134.099121 39.673370
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69257852-0.69243094) × R
    0.000147579999999925 × 6371000     		dl = 940.232179999522m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69257852-0.69243094) × R
    0.000147579999999925 × 6371000     		dr = 940.232179999522m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34066293--2.34047119) × cos(0.69257852) × R
    0.000191739999999996 × 0.769602129045314 × 6371000     		do = 940.127136373658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34066293--2.34047119) × cos(0.69243094) × R
    0.000191739999999996 × 0.769696353997196 × 6371000     		du = 940.242239270135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69257852)-sin(0.69243094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769602129045314-0.769696353997196)×R²
    abs(-2.34047119--2.34066293)×9.42249518820493e-05×R²
    0.000191739999999996×9.42249518820493e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.42249518820493e-05×40589641000000     		ar = 883991.900237336m²