Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 41764 / 10348
↖ ↑ ↗
← N 76.705073°
E 49.416504°		 ← 140.46 m → N 76.705073°
E 49.421997°		 →
↑
140.48 m
↓
↑
140.48 m
↓
N 76.703810°
E 49.416504°		 ← 140.47 m →
19 733 m²		 N 76.703810°
E 49.421997°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41764 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637275695800781 y=0.157905578613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637275695800781 × 216)
    floor (0.637275695800781 × 65536)
    floor (41764.5)     		tx = 41764
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157905578613281 × 216)
    floor (0.157905578613281 × 65536)
    floor (10348.5)     		ty = 10348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41764 / 10348 ti = "16/41764/10348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41764/10348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41764 ÷ 216
    41764 ÷ 65536     		x = 0.63726806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10348 ÷ 216
    10348 ÷ 65536     		y = 0.15789794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63726806640625 × 2 - 1) × π
    0.2745361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.86248070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15789794921875 × 2 - 1) × π
    0.6842041015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.14949057896332
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86248070} λ = 0.86248070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14949057896332))-π/2
    2×atan(8.58048620345172)-π/2
    2×1.45477620217508-π/2
    2.90955240435017-1.57079632675     		φ = 1.33875608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86248070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.416504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33875608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.705073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41764 KachelY 10348 0.86248070 1.33875608 49.416504 76.705073
    Oben rechts KachelX + 1 41765 KachelY 10348 0.86257657 1.33875608 49.421997 76.705073
    Unten links KachelX 41764 KachelY + 1 10349 0.86248070 1.33873403 49.416504 76.703810
    Unten rechts KachelX + 1 41765 KachelY + 1 10349 0.86257657 1.33873403 49.421997 76.703810
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33875608-1.33873403) × R
    2.20500000001067e-05 × 6371000     		dl = 140.48055000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33875608-1.33873403) × R
    2.20500000001067e-05 × 6371000     		dr = 140.48055000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86248070-0.86257657) × cos(1.33875608) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.229963567408462 × 6371000     		do = 140.458934518656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86248070-0.86257657) × cos(1.33873403) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.229985026395763 × 6371000     		du = 140.472041405656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33875608)-sin(1.33873403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.229963567408462-0.229985026395763)×R²
    abs(0.86257657-0.86248070)×2.14589873011317e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.14589873011317e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.14589873011317e-05×40589641000000     		ar = 19732.6690060473m²