Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41762 / 10347
↖ ↑ ↗
← N 76.706336°
E 49.405518°		 ← 140.45 m → N 76.706336°
E 49.411011°		 →
↑
140.42 m
↓
↑
140.42 m
↓
N 76.705073°
E 49.405518°		 ← 140.46 m →
19 722 m²		 N 76.705073°
E 49.411011°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637245178222656 y=0.157890319824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637245178222656 × 216)
    floor (0.637245178222656 × 65536)
    floor (41762.5)     		tx = 41762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157890319824219 × 216)
    floor (0.157890319824219 × 65536)
    floor (10347.5)     		ty = 10347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41762 / 10347 ti = "16/41762/10347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41762/10347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41762 ÷ 216
    41762 ÷ 65536     		x = 0.637237548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10347 ÷ 216
    10347 ÷ 65536     		y = 0.157882690429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.637237548828125 × 2 - 1) × π
    0.27447509765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.86228895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157882690429688 × 2 - 1) × π
    0.684234619140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.14958645276256
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86228895} λ = 0.86228895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14958645276256))-π/2
    2×atan(8.58130888669962)-π/2
    2×1.45478722540138-π/2
    2.90957445080276-1.57079632675     		φ = 1.33877812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86228895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.405518°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33877812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.706336°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41762 KachelY 10347 0.86228895 1.33877812 49.405518 76.706336
    Oben rechts KachelX + 1 41763 KachelY 10347 0.86238482 1.33877812 49.411011 76.706336
    Unten links KachelX 41762 KachelY + 1 10348 0.86228895 1.33875608 49.405518 76.705073
    Unten rechts KachelX + 1 41763 KachelY + 1 10348 0.86238482 1.33875608 49.411011 76.705073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33877812-1.33875608) × R
    2.20399999999454e-05 × 6371000     		dl = 140.416839999652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33877812-1.33875608) × R
    2.20399999999454e-05 × 6371000     		dr = 140.416839999652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86228895-0.86238482) × cos(1.33877812) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.229942118041395 × 6371000     		do = 140.445833507578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86228895-0.86238482) × cos(1.33875608) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.229963567408462 × 6371000     		du = 140.458934518656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33877812)-sin(1.33875608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.229942118041395-0.229963567408462)×R²
    abs(0.86238482-0.86228895)×2.14493670667726e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.14493670667726e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.14493670667726e-05×40589641000000     		ar = 19721.8799342231m²