Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41761 / 10349
↖ ↑ ↗
← N 76.703810°
E 49.400025°		 ← 140.47 m → N 76.703810°
E 49.405518°		 →
↑
140.48 m
↓
↑
140.48 m
↓
N 76.702546°
E 49.400025°		 ← 140.49 m →
19 735 m²		 N 76.702546°
E 49.405518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637229919433594 y=0.157920837402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637229919433594 × 216)
    floor (0.637229919433594 × 65536)
    floor (41761.5)     		tx = 41761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157920837402344 × 216)
    floor (0.157920837402344 × 65536)
    floor (10349.5)     		ty = 10349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41761 / 10349 ti = "16/41761/10349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41761/10349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41761 ÷ 216
    41761 ÷ 65536     		x = 0.637222290039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10349 ÷ 216
    10349 ÷ 65536     		y = 0.157913208007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.637222290039062 × 2 - 1) × π
    0.274444580078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.86219308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157913208007812 × 2 - 1) × π
    0.684173583984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.14939470516408
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86219308} λ = 0.86219308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14939470516408))-π/2
    2×atan(8.5796635990738)-π/2
    2×1.45476517792023-π/2
    2.90953035584045-1.57079632675     		φ = 1.33873403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86219308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.400025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33873403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.703810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41761 KachelY 10349 0.86219308 1.33873403 49.400025 76.703810
    Oben rechts KachelX + 1 41762 KachelY 10349 0.86228895 1.33873403 49.405518 76.703810
    Unten links KachelX 41761 KachelY + 1 10350 0.86219308 1.33871198 49.400025 76.702546
    Unten rechts KachelX + 1 41762 KachelY + 1 10350 0.86228895 1.33871198 49.405518 76.702546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33873403-1.33871198) × R
    2.20499999998847e-05 × 6371000     		dl = 140.480549999265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33873403-1.33871198) × R
    2.20499999998847e-05 × 6371000     		dr = 140.480549999265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86219308-0.86228895) × cos(1.33873403) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.229985026395763 × 6371000     		do = 140.472041405819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86219308-0.86228895) × cos(1.33871198) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.230006485271245 × 6371000     		du = 140.485148224521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33873403)-sin(1.33871198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.229985026395763-0.230006485271245)×R²
    abs(0.86228895-0.86219308)×2.14588754816336e-05×R²
    9.58700000001089e-05×2.14588754816336e-05×6371000²
    9.58700000001089e-05×2.14588754816336e-05×40589641000000     		ar = 19734.5102633618m²