Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 41760 / 10326
↖ ↑ ↗
← N 76.732835°
E 49.394531°		 ← 140.19 m → N 76.732835°
E 49.400025°		 →
↑
140.16 m
↓
↑
140.16 m
↓
N 76.731575°
E 49.394531°		 ← 140.20 m →
19 650 m²		 N 76.731575°
E 49.400025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637214660644531 y=0.157569885253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637214660644531 × 216)
    floor (0.637214660644531 × 65536)
    floor (41760.5)     		tx = 41760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157569885253906 × 216)
    floor (0.157569885253906 × 65536)
    floor (10326.5)     		ty = 10326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41760 / 10326 ti = "16/41760/10326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41760/10326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41760 ÷ 216
    41760 ÷ 65536     		x = 0.63720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10326 ÷ 216
    10326 ÷ 65536     		y = 0.157562255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63720703125 × 2 - 1) × π
    0.2744140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.86209720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157562255859375 × 2 - 1) × π
    0.68487548828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.1515998025466
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86209720} λ = 0.86209720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1515998025466))-π/2
    2×atan(8.59860346727141)-π/2
    2×1.45501847571605-π/2
    2.9100369514321-1.57079632675     		φ = 1.33924062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86209720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.394531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33924062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.732835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41760 KachelY 10326 0.86209720 1.33924062 49.394531 76.732835
    Oben rechts KachelX + 1 41761 KachelY 10326 0.86219308 1.33924062 49.400025 76.732835
    Unten links KachelX 41760 KachelY + 1 10327 0.86209720 1.33921862 49.394531 76.731575
    Unten rechts KachelX + 1 41761 KachelY + 1 10327 0.86219308 1.33921862 49.400025 76.731575
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33924062-1.33921862) × R
    2.19999999999665e-05 × 6371000     		dl = 140.161999999787m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33924062-1.33921862) × R
    2.19999999999665e-05 × 6371000     		dr = 140.161999999787m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86209720-0.86219308) × cos(1.33924062) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.22949198647262 × 6371000     		do = 140.185519584848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86209720-0.86219308) × cos(1.33921862) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.229513399249197 × 6371000     		du = 140.198599611111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33924062)-sin(1.33921862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22949198647262-0.229513399249197)×R²
    abs(0.86219308-0.86209720)×2.14127765770233e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.14127765770233e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.14127765770233e-05×40589641000000     		ar = 19649.5994581704m²