Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 4176 / 12458
↖ ↑ ↗
← N 39.554883°
W134.121094°		 ← 941.90 m → N 39.554883°
W134.110107°		 →
↑
941.89 m
↓
↑
941.89 m
↓
N 39.546412°
W134.121094°		 ← 942.02 m →
887 221 m²		 N 39.546412°
W134.110107°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127456665039062 y=0.380203247070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127456665039062 × 215)
    floor (0.127456665039062 × 32768)
    floor (4176.5)     		tx = 4176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.380203247070312 × 215)
    floor (0.380203247070312 × 32768)
    floor (12458.5)     		ty = 12458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4176 / 12458 ti = "15/4176/12458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4176/12458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4176 ÷ 215
    4176 ÷ 32768     		x = 0.12744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12458 ÷ 215
    12458 ÷ 32768     		y = 0.38018798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12744140625 × 2 - 1) × π
    -0.7451171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.34085468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.38018798828125 × 2 - 1) × π
    0.2396240234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.752801071633362
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34085468} λ = -2.34085468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.752801071633362))-π/2
    2×atan(2.12293819806026)-π/2
    2×1.13057963570766-π/2
    2.26115927141531-1.57079632675     		φ = 0.69036294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34085468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.121094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69036294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.554883°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4176 KachelY 12458 -2.34085468 0.69036294 -134.121094 39.554883
    Oben rechts KachelX + 1 4177 KachelY 12458 -2.34066293 0.69036294 -134.110107 39.554883
    Unten links KachelX 4176 KachelY + 1 12459 -2.34085468 0.69021510 -134.121094 39.546412
    Unten rechts KachelX + 1 4177 KachelY + 1 12459 -2.34066293 0.69021510 -134.110107 39.546412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69036294-0.69021510) × R
    0.00014784000000001 × 6371000     		dl = 941.888640000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69036294-0.69021510) × R
    0.00014784000000001 × 6371000     		dr = 941.888640000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34085468--2.34066293) × cos(0.69036294) × R
    0.000191749999999935 × 0.771014939400902 × 6371000     		do = 941.902112308194m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34085468--2.34066293) × cos(0.69021510) × R
    0.000191749999999935 × 0.771109078008257 × 6371000     		du = 942.01711572588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69036294)-sin(0.69021510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771014939400902-0.771109078008257)×R²
    abs(-2.34066293--2.34085468)×9.41386073556316e-05×R²
    0.000191749999999935×9.41386073556316e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.41386073556316e-05×40589641000000     		ar = 887221.061397205m²