Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 41759 / 10336
↖ ↑ ↗
← N 76.720223°
E 49.389038°		 ← 140.30 m → N 76.720223°
E 49.394531°		 →
↑
140.29 m
↓
↑
140.29 m
↓
N 76.718962°
E 49.389038°		 ← 140.31 m →
19 684 m²		 N 76.718962°
E 49.394531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41759 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637199401855469 y=0.157722473144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637199401855469 × 216)
    floor (0.637199401855469 × 65536)
    floor (41759.5)     		tx = 41759
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157722473144531 × 216)
    floor (0.157722473144531 × 65536)
    floor (10336.5)     		ty = 10336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41759 / 10336 ti = "16/41759/10336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41759/10336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41759 ÷ 216
    41759 ÷ 65536     		x = 0.637191772460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10336 ÷ 216
    10336 ÷ 65536     		y = 0.15771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.637191772460938 × 2 - 1) × π
    0.274383544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.86200133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15771484375 × 2 - 1) × π
    0.6845703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.1506410645542
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86200133} λ = 0.86200133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1506410645542))-π/2
    2×atan(8.59036361000901)-π/2
    2×1.45490841303141-π/2
    2.90981682606282-1.57079632675     		φ = 1.33902050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86200133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.389038°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33902050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.720223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41759 KachelY 10336 0.86200133 1.33902050 49.389038 76.720223
    Oben rechts KachelX + 1 41760 KachelY 10336 0.86209720 1.33902050 49.394531 76.720223
    Unten links KachelX 41759 KachelY + 1 10337 0.86200133 1.33899848 49.389038 76.718962
    Unten rechts KachelX + 1 41760 KachelY + 1 10337 0.86209720 1.33899848 49.394531 76.718962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33902050-1.33899848) × R
    2.20199999998449e-05 × 6371000     		dl = 140.289419999012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33902050-1.33899848) × R
    2.20199999998449e-05 × 6371000     		dr = 140.289419999012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86200133-0.86209720) × cos(1.33902050) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.229706226029548 × 6371000     		do = 140.301753551701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86200133-0.86209720) × cos(1.33899848) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.229727657159307 × 6371000     		du = 140.314843423654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33902050)-sin(1.33899848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.229706226029548-0.229727657159307)×R²
    abs(0.86209720-0.86200133)×2.14311297583869e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.14311297583869e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.14311297583869e-05×40589641000000     		ar = 19683.7698168102m²