Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41759 / 10017
↖ ↑ ↗
← N 77.116807°
E 49.389038°		 ← 136.18 m → N 77.116807°
E 49.394531°		 →
↑
136.21 m
↓
↑
136.21 m
↓
N 77.115582°
E 49.389038°		 ← 136.20 m →
18 551 m²		 N 77.115582°
E 49.394531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41759 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10017 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637199401855469 y=0.152854919433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637199401855469 × 216)
    floor (0.637199401855469 × 65536)
    floor (41759.5)     		tx = 41759
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152854919433594 × 216)
    floor (0.152854919433594 × 65536)
    floor (10017.5)     		ty = 10017
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41759 / 10017 ti = "16/41759/10017"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41759/10017.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41759 ÷ 216
    41759 ÷ 65536     		x = 0.637191772460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10017 ÷ 216
    10017 ÷ 65536     		y = 0.152847290039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.637191772460938 × 2 - 1) × π
    0.274383544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.86200133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152847290039062 × 2 - 1) × π
    0.694305419921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.18122480651179
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86200133} λ = 0.86200133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18122480651179))-π/2
    2×atan(8.8571479103393)-π/2
    2×1.45836925956771-π/2
    2.91673851913542-1.57079632675     		φ = 1.34594219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86200133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.389038°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34594219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.116807°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41759 KachelY 10017 0.86200133 1.34594219 49.389038 77.116807
    Oben rechts KachelX + 1 41760 KachelY 10017 0.86209720 1.34594219 49.394531 77.116807
    Unten links KachelX 41759 KachelY + 1 10018 0.86200133 1.34592081 49.389038 77.115582
    Unten rechts KachelX + 1 41760 KachelY + 1 10018 0.86209720 1.34592081 49.394531 77.115582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34594219-1.34592081) × R
    2.13799999999598e-05 × 6371000     		dl = 136.211979999744m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34594219-1.34592081) × R
    2.13799999999598e-05 × 6371000     		dr = 136.211979999744m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86200133-0.86209720) × cos(1.34594219) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.222964173166063 × 6371000     		do = 136.18379011799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86200133-0.86209720) × cos(1.34592081) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.222985014908659 × 6371000     		du = 136.196519999474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34594219)-sin(1.34592081))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222964173166063-0.222985014908659)×R²
    abs(0.86209720-0.86200133)×2.0841742596367e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.0841742596367e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.0841742596367e-05×40589641000000     		ar = 18550.7306779294m²