Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41757 / 10323
↖ ↑ ↗
← N 76.736617°
E 49.378052°		 ← 140.15 m → N 76.736617°
E 49.383545°		 →
↑
140.10 m
↓
↑
140.10 m
↓
N 76.735357°
E 49.378052°		 ← 140.16 m →
19 635 m²		 N 76.735357°
E 49.383545°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41757 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637168884277344 y=0.157524108886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637168884277344 × 216)
    floor (0.637168884277344 × 65536)
    floor (41757.5)     		tx = 41757
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157524108886719 × 216)
    floor (0.157524108886719 × 65536)
    floor (10323.5)     		ty = 10323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41757 / 10323 ti = "16/41757/10323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41757/10323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41757 ÷ 216
    41757 ÷ 65536     		x = 0.637161254882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10323 ÷ 216
    10323 ÷ 65536     		y = 0.157516479492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.637161254882812 × 2 - 1) × π
    0.274322509765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.86180958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157516479492188 × 2 - 1) × π
    0.684967041015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.15188742394432
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86180958} λ = 0.86180958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15188742394432))-π/2
    2×atan(8.60107696531755)-π/2
    2×1.4550514744992-π/2
    2.91010294899839-1.57079632675     		φ = 1.33930662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86180958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.378052°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33930662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.736617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41757 KachelY 10323 0.86180958 1.33930662 49.378052 76.736617
    Oben rechts KachelX + 1 41758 KachelY 10323 0.86190546 1.33930662 49.383545 76.736617
    Unten links KachelX 41757 KachelY + 1 10324 0.86180958 1.33928463 49.378052 76.735357
    Unten rechts KachelX + 1 41758 KachelY + 1 10324 0.86190546 1.33928463 49.383545 76.735357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33930662-1.33928463) × R
    2.19899999998052e-05 × 6371000     		dl = 140.098289998759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33930662-1.33928463) × R
    2.19899999998052e-05 × 6371000     		dr = 140.098289998759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86180958-0.86190546) × cos(1.33930662) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.229427747476486 × 6371000     		do = 140.146279099148m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86180958-0.86190546) × cos(1.33928463) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.229449150853047 × 6371000     		du = 140.159353383398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33930662)-sin(1.33928463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.229427747476486-0.229449150853047)×R²
    abs(0.86190546-0.86180958)×2.14033765616739e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.14033765616739e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.14033765616739e-05×40589641000000     		ar = 19635.1698945685m²