Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41756 / 10324
↖ ↑ ↗
← N 76.735357°
E 49.372559°		 ← 140.14 m → N 76.735357°
E 49.378052°		 →
↑
140.16 m
↓
↑
140.16 m
↓
N 76.734096°
E 49.372559°		 ← 140.16 m →
19 644 m²		 N 76.734096°
E 49.378052°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637153625488281 y=0.157539367675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637153625488281 × 216)
    floor (0.637153625488281 × 65536)
    floor (41756.5)     		tx = 41756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157539367675781 × 216)
    floor (0.157539367675781 × 65536)
    floor (10324.5)     		ty = 10324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41756 / 10324 ti = "16/41756/10324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41756/10324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41756 ÷ 216
    41756 ÷ 65536     		x = 0.63714599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10324 ÷ 216
    10324 ÷ 65536     		y = 0.15753173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63714599609375 × 2 - 1) × π
    0.2742919921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.86171371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15753173828125 × 2 - 1) × π
    0.6849365234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.15179155014508
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86171371} λ = 0.86171371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15179155014508))-π/2
    2×atan(8.60025238691968)-π/2
    2×1.45504047593123-π/2
    2.91008095186247-1.57079632675     		φ = 1.33928463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86171371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.372559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33928463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.735357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41756 KachelY 10324 0.86171371 1.33928463 49.372559 76.735357
    Oben rechts KachelX + 1 41757 KachelY 10324 0.86180958 1.33928463 49.378052 76.735357
    Unten links KachelX 41756 KachelY + 1 10325 0.86171371 1.33926263 49.372559 76.734096
    Unten rechts KachelX + 1 41757 KachelY + 1 10325 0.86180958 1.33926263 49.378052 76.734096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33928463-1.33926263) × R
    2.20000000001885e-05 × 6371000     		dl = 140.162000001201m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33928463-1.33926263) × R
    2.20000000001885e-05 × 6371000     		dr = 140.162000001201m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86171371-0.86180958) × cos(1.33928463) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.229449150853047 × 6371000     		do = 140.144735177923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86171371-0.86180958) × cos(1.33926263) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.229470563851813 × 6371000     		du = 140.157813975688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33928463)-sin(1.33926263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.229449150853047-0.229470563851813)×R²
    abs(0.86180958-0.86171371)×2.14129987656242e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.14129987656242e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.14129987656242e-05×40589641000000     		ar = 19643.8829480848m²