Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41751 / 10329
↖ ↑ ↗
← N 76.729053°
E 49.345093°		 ← 140.21 m → N 76.729053°
E 49.350586°		 →
↑
140.23 m
↓
↑
140.23 m
↓
N 76.727792°
E 49.345093°		 ← 140.22 m →
19 662 m²		 N 76.727792°
E 49.350586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637077331542969 y=0.157615661621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637077331542969 × 216)
    floor (0.637077331542969 × 65536)
    floor (41751.5)     		tx = 41751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157615661621094 × 216)
    floor (0.157615661621094 × 65536)
    floor (10329.5)     		ty = 10329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41751 / 10329 ti = "16/41751/10329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41751/10329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41751 ÷ 216
    41751 ÷ 65536     		x = 0.637069702148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10329 ÷ 216
    10329 ÷ 65536     		y = 0.157608032226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.637069702148438 × 2 - 1) × π
    0.274139404296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.86123434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157608032226562 × 2 - 1) × π
    0.684783935546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.15131218114888
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86123434} λ = 0.86123434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15131218114888))-π/2
    2×atan(8.59613068055395)-π/2
    2×1.45498546769377-π/2
    2.90997093538753-1.57079632675     		φ = 1.33917461
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86123434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.345093°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33917461 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.729053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41751 KachelY 10329 0.86123434 1.33917461 49.345093 76.729053
    Oben rechts KachelX + 1 41752 KachelY 10329 0.86133021 1.33917461 49.350586 76.729053
    Unten links KachelX 41751 KachelY + 1 10330 0.86123434 1.33915260 49.345093 76.727792
    Unten rechts KachelX + 1 41752 KachelY + 1 10330 0.86133021 1.33915260 49.350586 76.727792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33917461-1.33915260) × R
    2.20099999999057e-05 × 6371000     		dl = 140.225709999399m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33917461-1.33915260) × R
    2.20099999999057e-05 × 6371000     		dr = 140.225709999399m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86123434-0.86133021) × cos(1.33917461) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.229556234202042 × 6371000     		do = 140.21014037786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86123434-0.86133021) × cos(1.33915260) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.229577656378187 × 6371000     		du = 140.223224781056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33917461)-sin(1.33915260))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.229556234202042-0.229577656378187)×R²
    abs(0.86133021-0.86123434)×2.14221761454247e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.14221761454247e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.14221761454247e-05×40589641000000     		ar = 19661.9838690453m²