Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4175 / 12445
↖ ↑ ↗
← N 39.664914°
W134.132080°		 ← 940.41 m → N 39.664914°
W134.121094°		 →
↑
940.42 m
↓
↑
940.42 m
↓
N 39.656456°
W134.132080°		 ← 940.52 m →
884 434 m²		 N 39.656456°
W134.121094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4175 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127426147460938 y=0.379806518554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127426147460938 × 215)
    floor (0.127426147460938 × 32768)
    floor (4175.5)     		tx = 4175
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379806518554688 × 215)
    floor (0.379806518554688 × 32768)
    floor (12445.5)     		ty = 12445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4175 / 12445 ti = "15/4175/12445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4175/12445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4175 ÷ 215
    4175 ÷ 32768     		x = 0.127410888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12445 ÷ 215
    12445 ÷ 32768     		y = 0.379791259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127410888671875 × 2 - 1) × π
    -0.74517822265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.34104643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379791259765625 × 2 - 1) × π
    0.24041748046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.755293790413605
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34104643} λ = -2.34104643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.755293790413605))-π/2
    2×atan(2.12823668705379)-π/2
    2×1.13153983450852-π/2
    2.26307966901703-1.57079632675     		φ = 0.69228334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34104643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.132080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69228334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.664914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4175 KachelY 12445 -2.34104643 0.69228334 -134.132080 39.664914
    Oben rechts KachelX + 1 4176 KachelY 12445 -2.34085468 0.69228334 -134.121094 39.664914
    Unten links KachelX 4175 KachelY + 1 12446 -2.34104643 0.69213573 -134.132080 39.656456
    Unten rechts KachelX + 1 4176 KachelY + 1 12446 -2.34085468 0.69213573 -134.121094 39.656456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69228334-0.69213573) × R
    0.000147610000000076 × 6371000     		dl = 940.423310000483m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69228334-0.69213573) × R
    0.000147610000000076 × 6371000     		dr = 940.423310000483m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34104643--2.34085468) × cos(0.69228334) × R
    0.000191749999999935 × 0.769790574951133 × 6371000     		do = 940.406380640052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34104643--2.34085468) × cos(0.69213573) × R
    0.000191749999999935 × 0.769884785516426 × 6371000     		du = 940.521471964379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69228334)-sin(0.69213573))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769790574951133-0.769884785516426)×R²
    abs(-2.34085468--2.34104643)×9.42105652934622e-05×R²
    0.000191749999999935×9.42105652934622e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.42105652934622e-05×40589641000000     		ar = 884434.200115451m²