Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41749 / 10333
↖ ↑ ↗
← N 76.724008°
E 49.334106°		 ← 140.26 m → N 76.724008°
E 49.339599°		 →
↑
140.29 m
↓
↑
140.29 m
↓
N 76.722747°
E 49.334106°		 ← 140.28 m →
19 678 m²		 N 76.722747°
E 49.339599°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41749 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637046813964844 y=0.157676696777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637046813964844 × 216)
    floor (0.637046813964844 × 65536)
    floor (41749.5)     		tx = 41749
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157676696777344 × 216)
    floor (0.157676696777344 × 65536)
    floor (10333.5)     		ty = 10333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41749 / 10333 ti = "16/41749/10333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41749/10333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41749 ÷ 216
    41749 ÷ 65536     		x = 0.637039184570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10333 ÷ 216
    10333 ÷ 65536     		y = 0.157669067382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.637039184570312 × 2 - 1) × π
    0.274078369140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.86104259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157669067382812 × 2 - 1) × π
    0.684661865234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.15092868595192
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86104259} λ = 0.86104259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15092868595192))-π/2
    2×atan(8.59283473775502)-π/2
    2×1.45494144262118-π/2
    2.90988288524235-1.57079632675     		φ = 1.33908656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86104259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.334106°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33908656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.724008°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41749 KachelY 10333 0.86104259 1.33908656 49.334106 76.724008
    Oben rechts KachelX + 1 41750 KachelY 10333 0.86113846 1.33908656 49.339599 76.724008
    Unten links KachelX 41749 KachelY + 1 10334 0.86104259 1.33906454 49.334106 76.722747
    Unten rechts KachelX + 1 41750 KachelY + 1 10334 0.86113846 1.33906454 49.339599 76.722747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33908656-1.33906454) × R
    2.20199999998449e-05 × 6371000     		dl = 140.289419999012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33908656-1.33906454) × R
    2.20199999998449e-05 × 6371000     		dr = 140.289419999012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86104259-0.86113846) × cos(1.33908656) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.229641931972034 × 6371000     		do = 140.262483527687m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86104259-0.86113846) × cos(1.33906454) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.229663363435902 × 6371000     		du = 140.275573603711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33908656)-sin(1.33906454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.229641931972034-0.229663363435902)×R²
    abs(0.86113846-0.86104259)×2.14314638673496e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.14314638673496e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.14314638673496e-05×40589641000000     		ar = 19678.2606620453m²