Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41748 / 10334
↖ ↑ ↗
← N 76.722747°
E 49.328613°		 ← 140.28 m → N 76.722747°
E 49.334106°		 →
↑
140.29 m
↓
↑
140.29 m
↓
N 76.721485°
E 49.328613°		 ← 140.29 m →
19 680 m²		 N 76.721485°
E 49.334106°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637031555175781 y=0.157691955566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637031555175781 × 216)
    floor (0.637031555175781 × 65536)
    floor (41748.5)     		tx = 41748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157691955566406 × 216)
    floor (0.157691955566406 × 65536)
    floor (10334.5)     		ty = 10334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41748 / 10334 ti = "16/41748/10334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41748/10334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41748 ÷ 216
    41748 ÷ 65536     		x = 0.63702392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10334 ÷ 216
    10334 ÷ 65536     		y = 0.157684326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63702392578125 × 2 - 1) × π
    0.2740478515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.86094672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157684326171875 × 2 - 1) × π
    0.68463134765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.15083281215268
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86094672} λ = 0.86094672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15083281215268))-π/2
    2×atan(8.59201094953296)-π/2
    2×1.45493043378525-π/2
    2.90986086757049-1.57079632675     		φ = 1.33906454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86094672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.328613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33906454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.722747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41748 KachelY 10334 0.86094672 1.33906454 49.328613 76.722747
    Oben rechts KachelX + 1 41749 KachelY 10334 0.86104259 1.33906454 49.334106 76.722747
    Unten links KachelX 41748 KachelY + 1 10335 0.86094672 1.33904252 49.328613 76.721485
    Unten rechts KachelX + 1 41749 KachelY + 1 10335 0.86104259 1.33904252 49.334106 76.721485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33906454-1.33904252) × R
    2.2020000000067e-05 × 6371000     		dl = 140.289420000427m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33906454-1.33904252) × R
    2.2020000000067e-05 × 6371000     		dr = 140.289420000427m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86094672-0.86104259) × cos(1.33906454) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.229663363435902 × 6371000     		do = 140.275573603711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86094672-0.86104259) × cos(1.33904252) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.22968479478841 × 6371000     		du = 140.288663611717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33906454)-sin(1.33904252))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.229663363435902-0.22968479478841)×R²
    abs(0.86104259-0.86094672)×2.1431352508261e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.1431352508261e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.1431352508261e-05×40589641000000     		ar = 19680.0970569035m²