Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41747 / 10332
↖ ↑ ↗
← N 76.725269°
E 49.323120°		 ← 140.26 m → N 76.725269°
E 49.328613°		 →
↑
140.23 m
↓
↑
140.23 m
↓
N 76.724008°
E 49.323120°		 ← 140.28 m →
19 670 m²		 N 76.724008°
E 49.328613°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41747 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637016296386719 y=0.157661437988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637016296386719 × 216)
    floor (0.637016296386719 × 65536)
    floor (41747.5)     		tx = 41747
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157661437988281 × 216)
    floor (0.157661437988281 × 65536)
    floor (10332.5)     		ty = 10332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41747 / 10332 ti = "16/41747/10332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41747/10332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41747 ÷ 216
    41747 ÷ 65536     		x = 0.637008666992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10332 ÷ 216
    10332 ÷ 65536     		y = 0.15765380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.637008666992188 × 2 - 1) × π
    0.274017333984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.86085084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15765380859375 × 2 - 1) × π
    0.6846923828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.15102455975116
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86085084} λ = 0.86085084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15102455975116))-π/2
    2×atan(8.59365860496058)-π/2
    2×1.4549524504299-π/2
    2.90990490085981-1.57079632675     		φ = 1.33910857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86085084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.323120°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33910857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.725269°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41747 KachelY 10332 0.86085084 1.33910857 49.323120 76.725269
    Oben rechts KachelX + 1 41748 KachelY 10332 0.86094672 1.33910857 49.328613 76.725269
    Unten links KachelX 41747 KachelY + 1 10333 0.86085084 1.33908656 49.323120 76.724008
    Unten rechts KachelX + 1 41748 KachelY + 1 10333 0.86094672 1.33908656 49.328613 76.724008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33910857-1.33908656) × R
    2.20100000001278e-05 × 6371000     		dl = 140.225710000814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33910857-1.33908656) × R
    2.20100000001278e-05 × 6371000     		dr = 140.225710000814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86085084-0.86094672) × cos(1.33910857) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.22962051012962 × 6371000     		do = 140.264028451104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86085084-0.86094672) × cos(1.33908656) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.229641931972034 × 6371000     		du = 140.277114015247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33910857)-sin(1.33908656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22962051012962-0.229641931972034)×R²
    abs(0.86094672-0.86085084)×2.14218424140766e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.14218424140766e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.14218424140766e-05×40589641000000     		ar = 19669.540444079m²