Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41746 / 10330
↖ ↑ ↗
← N 76.727792°
E 49.317627°		 ← 140.22 m → N 76.727792°
E 49.323120°		 →
↑
140.23 m
↓
↑
140.23 m
↓
N 76.726531°
E 49.317627°		 ← 140.24 m →
19 664 m²		 N 76.726531°
E 49.323120°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41746 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10330 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.637001037597656 y=0.157630920410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.637001037597656 × 216)
    floor (0.637001037597656 × 65536)
    floor (41746.5)     		tx = 41746
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157630920410156 × 216)
    floor (0.157630920410156 × 65536)
    floor (10330.5)     		ty = 10330
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41746 / 10330 ti = "16/41746/10330"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41746/10330.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41746 ÷ 216
    41746 ÷ 65536     		x = 0.636993408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10330 ÷ 216
    10330 ÷ 65536     		y = 0.157623291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636993408203125 × 2 - 1) × π
    0.27398681640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.86075497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157623291015625 × 2 - 1) × π
    0.68475341796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.15121630734964
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86075497} λ = 0.86075497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15121630734964))-π/2
    2×atan(8.59530657635247)-π/2
    2×1.45497446296611-π/2
    2.90994892593222-1.57079632675     		φ = 1.33915260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86075497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.317627°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33915260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.727792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41746 KachelY 10330 0.86075497 1.33915260 49.317627 76.727792
    Oben rechts KachelX + 1 41747 KachelY 10330 0.86085084 1.33915260 49.323120 76.727792
    Unten links KachelX 41746 KachelY + 1 10331 0.86075497 1.33913059 49.317627 76.726531
    Unten rechts KachelX + 1 41747 KachelY + 1 10331 0.86085084 1.33913059 49.323120 76.726531
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33915260-1.33913059) × R
    2.20100000001278e-05 × 6371000     		dl = 140.225710000814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33915260-1.33913059) × R
    2.20100000001278e-05 × 6371000     		dr = 140.225710000814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86075497-0.86085084) × cos(1.33915260) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.229577656378187 × 6371000     		do = 140.223224781056m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86075497-0.86085084) × cos(1.33913059) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.229599078443116 × 6371000     		du = 140.236309116323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33915260)-sin(1.33913059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.229577656378187-0.229599078443116)×R²
    abs(0.86085084-0.86075497)×2.14220649289998e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.14220649289998e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.14220649289998e-05×40589641000000     		ar = 19663.8186343079m²