Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41734 / 9987
↖ ↑ ↗
← N 77.153499°
E 49.251709°		 ← 135.82 m → N 77.153499°
E 49.257202°		 →
↑
135.83 m
↓
↑
135.83 m
↓
N 77.152278°
E 49.251709°		 ← 135.83 m →
18 449 m²		 N 77.152278°
E 49.257202°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41734 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636817932128906 y=0.152397155761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636817932128906 × 216)
    floor (0.636817932128906 × 65536)
    floor (41734.5)     		tx = 41734
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152397155761719 × 216)
    floor (0.152397155761719 × 65536)
    floor (9987.5)     		ty = 9987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41734 / 9987 ti = "16/41734/9987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41734/9987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41734 ÷ 216
    41734 ÷ 65536     		x = 0.636810302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9987 ÷ 216
    9987 ÷ 65536     		y = 0.152389526367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636810302734375 × 2 - 1) × π
    0.27362060546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.85960448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152389526367188 × 2 - 1) × π
    0.695220947265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.184101020489
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85960448} λ = 0.85960448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.184101020489))-π/2
    2×atan(8.88265963395784)-π/2
    2×1.45868945678229-π/2
    2.91737891356458-1.57079632675     		φ = 1.34658259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85960448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.251709°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34658259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.153499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41734 KachelY 9987 0.85960448 1.34658259 49.251709 77.153499
    Oben rechts KachelX + 1 41735 KachelY 9987 0.85970036 1.34658259 49.257202 77.153499
    Unten links KachelX 41734 KachelY + 1 9988 0.85960448 1.34656127 49.251709 77.152278
    Unten rechts KachelX + 1 41735 KachelY + 1 9988 0.85970036 1.34656127 49.257202 77.152278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34658259-1.34656127) × R
    2.13199999998803e-05 × 6371000     		dl = 135.829719999238m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34658259-1.34656127) × R
    2.13199999998803e-05 × 6371000     		dr = 135.829719999238m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85960448-0.85970036) × cos(1.34658259) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.222339848508507 × 6371000     		do = 135.816625524465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85960448-0.85970036) × cos(1.34656127) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.222360634801873 × 6371000     		du = 135.829322862532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34658259)-sin(1.34656127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222339848508507-0.222360634801873)×R²
    abs(0.85970036-0.85960448)×2.07862933664649e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.07862933664649e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.07862933664649e-05×40589641000000     		ar = 18448.796554967m²