Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41730 / 9988
↖ ↑ ↗
← N 77.152278°
E 49.229736°		 ← 135.82 m → N 77.152278°
E 49.235229°		 →
↑
135.83 m
↓
↑
135.83 m
↓
N 77.151056°
E 49.229736°		 ← 135.83 m →
18 449 m²		 N 77.151056°
E 49.235229°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41730 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636756896972656 y=0.152412414550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636756896972656 × 216)
    floor (0.636756896972656 × 65536)
    floor (41730.5)     		tx = 41730
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152412414550781 × 216)
    floor (0.152412414550781 × 65536)
    floor (9988.5)     		ty = 9988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41730 / 9988 ti = "16/41730/9988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41730/9988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41730 ÷ 216
    41730 ÷ 65536     		x = 0.636749267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9988 ÷ 216
    9988 ÷ 65536     		y = 0.15240478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636749267578125 × 2 - 1) × π
    0.27349853515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.85922099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15240478515625 × 2 - 1) × π
    0.6951904296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.18400514668976
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85922099} λ = 0.85922099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18400514668976))-π/2
    2×atan(8.88180806045382)-π/2
    2×1.45867879800099-π/2
    2.91735759600198-1.57079632675     		φ = 1.34656127
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85922099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.229736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34656127 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.152278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41730 KachelY 9988 0.85922099 1.34656127 49.229736 77.152278
    Oben rechts KachelX + 1 41731 KachelY 9988 0.85931686 1.34656127 49.235229 77.152278
    Unten links KachelX 41730 KachelY + 1 9989 0.85922099 1.34653995 49.229736 77.151056
    Unten rechts KachelX + 1 41731 KachelY + 1 9989 0.85931686 1.34653995 49.235229 77.151056
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34656127-1.34653995) × R
    2.13200000001024e-05 × 6371000     		dl = 135.829720000652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34656127-1.34653995) × R
    2.13200000001024e-05 × 6371000     		dr = 135.829720000652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85922099-0.85931686) × cos(1.34656127) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.222360634801873 × 6371000     		do = 135.815156266418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85922099-0.85931686) × cos(1.34653995) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.222381420994168 × 6371000     		du = 135.827852218456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34656127)-sin(1.34653995))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222360634801873-0.222381420994168)×R²
    abs(0.85931686-0.85922099)×2.07861922943697e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.07861922943697e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.07861922943697e-05×40589641000000     		ar = 18448.5968920487m²