Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4173 / 2821
↖ ↑ ↗
← N 75.469619°
W 88.308106°		 ← 613 m → N 75.469619°
W 88.286133°		 →
↑
613.15 m
↓
↑
613.15 m
↓
N 75.464105°
W 88.308106°		 ← 613.23 m →
375 929 m²		 N 75.464105°
W 88.286133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4173 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.254730224609375 y=0.172210693359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.254730224609375 × 214)
    floor (0.254730224609375 × 16384)
    floor (4173.5)     		tx = 4173
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172210693359375 × 214)
    floor (0.172210693359375 × 16384)
    floor (2821.5)     		ty = 2821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4173 / 2821 ti = "14/4173/2821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4173/2821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4173 ÷ 214
    4173 ÷ 16384     		x = 0.25469970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2821 ÷ 214
    2821 ÷ 16384     		y = 0.17218017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.25469970703125 × 2 - 1) × π
    -0.4906005859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.54126720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17218017578125 × 2 - 1) × π
    0.6556396484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.05975270287457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.54126720} λ = -1.54126720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05975270287457))-π/2
    2×atan(7.84402976443194)-π/2
    2×1.44399483108992-π/2
    2.88798966217984-1.57079632675     		φ = 1.31719334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.54126720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -88.308106°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31719334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.469619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4173 KachelY 2821 -1.54126720 1.31719334 -88.308106 75.469619
    Oben rechts KachelX + 1 4174 KachelY 2821 -1.54088370 1.31719334 -88.286133 75.469619
    Unten links KachelX 4173 KachelY + 1 2822 -1.54126720 1.31709710 -88.308106 75.464105
    Unten rechts KachelX + 1 4174 KachelY + 1 2822 -1.54088370 1.31709710 -88.286133 75.464105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31719334-1.31709710) × R
    9.62399999999697e-05 × 6371000     		dl = 613.145039999807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31719334-1.31709710) × R
    9.62399999999697e-05 × 6371000     		dr = 613.145039999807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.54126720--1.54088370) × cos(1.31719334) × R
    0.000383500000000092 × 0.250893324525107 × 6371000     		do = 613.002265605865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.54126720--1.54088370) × cos(1.31709710) × R
    0.000383500000000092 × 0.250986485101779 × 6371000     		du = 613.229882839893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31719334)-sin(1.31709710))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250893324525107-0.250986485101779)×R²
    abs(-1.54088370--1.54126720)×9.31605766713028e-05×R²
    0.000383500000000092×9.31605766713028e-05×6371000²
    0.000383500000000092×9.31605766713028e-05×40589641000000     		ar = 375929.08014397m²