Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4173 / 12447
↖ ↑ ↗
← N 39.647998°
W134.154053°		 ← 940.64 m → N 39.647998°
W134.143067°		 →
↑
940.74 m
↓
↑
940.74 m
↓
N 39.639537°
W134.154053°		 ← 940.75 m →
884 950 m²		 N 39.639537°
W134.143067°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4173 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127365112304688 y=0.379867553710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127365112304688 × 215)
    floor (0.127365112304688 × 32768)
    floor (4173.5)     		tx = 4173
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379867553710938 × 215)
    floor (0.379867553710938 × 32768)
    floor (12447.5)     		ty = 12447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4173 / 12447 ti = "15/4173/12447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4173/12447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4173 ÷ 215
    4173 ÷ 32768     		x = 0.127349853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12447 ÷ 215
    12447 ÷ 32768     		y = 0.379852294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127349853515625 × 2 - 1) × π
    -0.74530029296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.34142993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379852294921875 × 2 - 1) × π
    0.24029541015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.754910295216644
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34142993} λ = -2.34142993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.754910295216644))-π/2
    2×atan(2.12742067498466)-π/2
    2×1.13139221094967-π/2
    2.26278442189934-1.57079632675     		φ = 0.69198810
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34142993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.154053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69198810 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.647998°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4173 KachelY 12447 -2.34142993 0.69198810 -134.154053 39.647998
    Oben rechts KachelX + 1 4174 KachelY 12447 -2.34123818 0.69198810 -134.143067 39.647998
    Unten links KachelX 4173 KachelY + 1 12448 -2.34142993 0.69184044 -134.154053 39.639537
    Unten rechts KachelX + 1 4174 KachelY + 1 12448 -2.34123818 0.69184044 -134.143067 39.639537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69198810-0.69184044) × R
    0.000147659999999994 × 6371000     		dl = 940.741859999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69198810-0.69184044) × R
    0.000147659999999994 × 6371000     		dr = 940.741859999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34142993--2.34123818) × cos(0.69198810) × R
    0.000191749999999935 × 0.769978992068307 × 6371000     		do = 940.636558385763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34142993--2.34123818) × cos(0.69184044) × R
    0.000191749999999935 × 0.770073200977456 × 6371000     		du = 940.75164768688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69198810)-sin(0.69184044))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769978992068307-0.770073200977456)×R²
    abs(-2.34123818--2.34142993)×9.42089091496845e-05×R²
    0.000191749999999935×9.42089091496845e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.42089091496845e-05×40589641000000     		ar = 884950.321789319m²