Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41727 / 9994
↖ ↑ ↗
← N 77.144947°
E 49.213257°		 ← 135.89 m → N 77.144947°
E 49.218750°		 →
↑
135.89 m
↓
↑
135.89 m
↓
N 77.143725°
E 49.213257°		 ← 135.90 m →
18 468 m²		 N 77.143725°
E 49.218750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9994 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636711120605469 y=0.152503967285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636711120605469 × 216)
    floor (0.636711120605469 × 65536)
    floor (41727.5)     		tx = 41727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152503967285156 × 216)
    floor (0.152503967285156 × 65536)
    floor (9994.5)     		ty = 9994
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41727 / 9994 ti = "16/41727/9994"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41727/9994.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41727 ÷ 216
    41727 ÷ 65536     		x = 0.636703491210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9994 ÷ 216
    9994 ÷ 65536     		y = 0.152496337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636703491210938 × 2 - 1) × π
    0.273406982421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.85893337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152496337890625 × 2 - 1) × π
    0.69500732421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.18342990389432
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85893337} λ = 0.85893337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18342990389432))-π/2
    2×atan(8.87670033358894)-π/2
    2×1.45861482438652-π/2
    2.91722964877303-1.57079632675     		φ = 1.34643332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85893337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.213257°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34643332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.144947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41727 KachelY 9994 0.85893337 1.34643332 49.213257 77.144947
    Oben rechts KachelX + 1 41728 KachelY 9994 0.85902924 1.34643332 49.218750 77.144947
    Unten links KachelX 41727 KachelY + 1 9995 0.85893337 1.34641199 49.213257 77.143725
    Unten rechts KachelX + 1 41728 KachelY + 1 9995 0.85902924 1.34641199 49.218750 77.143725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34643332-1.34641199) × R
    2.13300000000416e-05 × 6371000     		dl = 135.893430000265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34643332-1.34641199) × R
    2.13300000000416e-05 × 6371000     		dr = 135.893430000265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85893337-0.85902924) × cos(1.34643332) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.222485379687304 × 6371000     		do = 135.891348916809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85893337-0.85902924) × cos(1.34641199) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.222506175022136 × 6371000     		du = 135.904050452997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34643332)-sin(1.34641199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222485379687304-0.222506175022136)×R²
    abs(0.85902924-0.85893337)×2.07953348324019e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.07953348324019e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.07953348324019e-05×40589641000000     		ar = 18467.6045399773m²