Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41726 / 10085
↖ ↑ ↗
← N 77.033257°
E 49.207763°		 ← 137.07 m → N 77.033257°
E 49.213257°		 →
↑
137.10 m
↓
↑
137.10 m
↓
N 77.032024°
E 49.207763°		 ← 137.08 m →
18 793 m²		 N 77.032024°
E 49.213257°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636695861816406 y=0.153892517089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636695861816406 × 216)
    floor (0.636695861816406 × 65536)
    floor (41726.5)     		tx = 41726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153892517089844 × 216)
    floor (0.153892517089844 × 65536)
    floor (10085.5)     		ty = 10085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41726 / 10085 ti = "16/41726/10085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41726/10085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41726 ÷ 216
    41726 ÷ 65536     		x = 0.636688232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10085 ÷ 216
    10085 ÷ 65536     		y = 0.153884887695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636688232421875 × 2 - 1) × π
    0.27337646484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.85883749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153884887695312 × 2 - 1) × π
    0.692230224609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.17470538816347
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85883749} λ = 0.85883749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17470538816347))-π/2
    2×atan(8.79959227622357)-π/2
    2×1.45764014706026-π/2
    2.91528029412052-1.57079632675     		φ = 1.34448397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85883749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.207763°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34448397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.033257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41726 KachelY 10085 0.85883749 1.34448397 49.207763 77.033257
    Oben rechts KachelX + 1 41727 KachelY 10085 0.85893337 1.34448397 49.213257 77.033257
    Unten links KachelX 41726 KachelY + 1 10086 0.85883749 1.34446245 49.207763 77.032024
    Unten rechts KachelX + 1 41727 KachelY + 1 10086 0.85893337 1.34446245 49.213257 77.032024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34448397-1.34446245) × R
    2.15199999999971e-05 × 6371000     		dl = 137.103919999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34448397-1.34446245) × R
    2.15199999999971e-05 × 6371000     		dr = 137.103919999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85883749-0.85893337) × cos(1.34448397) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.224385447308745 × 6371000     		do = 137.066182579078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85883749-0.85893337) × cos(1.34446245) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.224406418506956 × 6371000     		du = 137.078992866542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34448397)-sin(1.34446245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224385447308745-0.224406418506956)×R²
    abs(0.85893337-0.85883749)×2.09711982104288e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.09711982104288e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.09711982104288e-05×40589641000000     		ar = 18793.189102134m²