Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41723 / 10108
↖ ↑ ↗
← N 77.004877°
E 49.191284°		 ← 137.36 m → N 77.004877°
E 49.196778°		 →
↑
137.36 m
↓
↑
137.36 m
↓
N 77.003641°
E 49.191284°		 ← 137.37 m →
18 869 m²		 N 77.003641°
E 49.196778°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636650085449219 y=0.154243469238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636650085449219 × 216)
    floor (0.636650085449219 × 65536)
    floor (41723.5)     		tx = 41723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154243469238281 × 216)
    floor (0.154243469238281 × 65536)
    floor (10108.5)     		ty = 10108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41723 / 10108 ti = "16/41723/10108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41723/10108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41723 ÷ 216
    41723 ÷ 65536     		x = 0.636642456054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10108 ÷ 216
    10108 ÷ 65536     		y = 0.15423583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636642456054688 × 2 - 1) × π
    0.273284912109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.85854987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15423583984375 × 2 - 1) × π
    0.6915283203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.17250029078094
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85854987} λ = 0.85854987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17250029078094))-π/2
    2×atan(8.78020969641991)-π/2
    2×1.45739248518514-π/2
    2.91478497037027-1.57079632675     		φ = 1.34398864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85854987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.191284°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34398864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.004877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41723 KachelY 10108 0.85854987 1.34398864 49.191284 77.004877
    Oben rechts KachelX + 1 41724 KachelY 10108 0.85864575 1.34398864 49.196778 77.004877
    Unten links KachelX 41723 KachelY + 1 10109 0.85854987 1.34396708 49.191284 77.003641
    Unten rechts KachelX + 1 41724 KachelY + 1 10109 0.85864575 1.34396708 49.196778 77.003641
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34398864-1.34396708) × R
    2.1559999999976e-05 × 6371000     		dl = 137.358759999847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34398864-1.34396708) × R
    2.1559999999976e-05 × 6371000     		dr = 137.358759999847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85854987-0.85864575) × cos(1.34398864) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.224868119081397 × 6371000     		do = 137.361023345597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85854987-0.85864575) × cos(1.34396708) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.22488912686046 × 6371000     		du = 137.37385597853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34398864)-sin(1.34396708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224868119081397-0.22488912686046)×R²
    abs(0.85864575-0.85854987)×2.10077790636365e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.10077790636365e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.10077790636365e-05×40589641000000     		ar = 18868.6211770563m²