Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41721 / 9992
↖ ↑ ↗
← N 77.147391°
E 49.180298°		 ← 135.88 m → N 77.147391°
E 49.185791°		 →
↑
135.89 m
↓
↑
135.89 m
↓
N 77.146169°
E 49.180298°		 ← 135.89 m →
18 466 m²		 N 77.146169°
E 49.185791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636619567871094 y=0.152473449707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636619567871094 × 216)
    floor (0.636619567871094 × 65536)
    floor (41721.5)     		tx = 41721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152473449707031 × 216)
    floor (0.152473449707031 × 65536)
    floor (9992.5)     		ty = 9992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41721 / 9992 ti = "16/41721/9992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41721/9992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41721 ÷ 216
    41721 ÷ 65536     		x = 0.636611938476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9992 ÷ 216
    9992 ÷ 65536     		y = 0.1524658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636611938476562 × 2 - 1) × π
    0.273223876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.85835812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1524658203125 × 2 - 1) × π
    0.695068359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.1836216514928
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85835812} λ = 0.85835812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1836216514928))-π/2
    2×atan(8.87840258275622)-π/2
    2×1.45863615291129-π/2
    2.91727230582259-1.57079632675     		φ = 1.34647598
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85835812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.180298°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34647598 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.147391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41721 KachelY 9992 0.85835812 1.34647598 49.180298 77.147391
    Oben rechts KachelX + 1 41722 KachelY 9992 0.85845400 1.34647598 49.185791 77.147391
    Unten links KachelX 41721 KachelY + 1 9993 0.85835812 1.34645465 49.180298 77.146169
    Unten rechts KachelX + 1 41722 KachelY + 1 9993 0.85845400 1.34645465 49.185791 77.146169
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34647598-1.34645465) × R
    2.13299999998195e-05 × 6371000     		dl = 135.89342999885m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34647598-1.34645465) × R
    2.13299999998195e-05 × 6371000     		dr = 135.89342999885m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85835812-0.85845400) × cos(1.34647598) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.222443788713977 × 6371000     		do = 135.880117552809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85835812-0.85845400) × cos(1.34645465) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.222464584251248 × 6371000     		du = 135.892820537528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34647598)-sin(1.34645465))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222443788713977-0.222464584251248)×R²
    abs(0.85845400-0.85835812)×2.07955372705515e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.07955372705515e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.07955372705515e-05×40589641000000     		ar = 18466.0783695708m²