Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41721 / 10105
↖ ↑ ↗
← N 77.008582°
E 49.180298°		 ← 137.32 m → N 77.008582°
E 49.185791°		 →
↑
137.30 m
↓
↑
137.30 m
↓
N 77.007347°
E 49.180298°		 ← 137.34 m →
18 855 m²		 N 77.007347°
E 49.185791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636619567871094 y=0.154197692871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636619567871094 × 216)
    floor (0.636619567871094 × 65536)
    floor (41721.5)     		tx = 41721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154197692871094 × 216)
    floor (0.154197692871094 × 65536)
    floor (10105.5)     		ty = 10105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41721 / 10105 ti = "16/41721/10105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41721/10105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41721 ÷ 216
    41721 ÷ 65536     		x = 0.636611938476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10105 ÷ 216
    10105 ÷ 65536     		y = 0.154190063476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636611938476562 × 2 - 1) × π
    0.273223876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.85835812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154190063476562 × 2 - 1) × π
    0.691619873046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.17278791217867
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85835812} λ = 0.85835812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17278791217867))-π/2
    2×atan(8.782735435816)-π/2
    2×1.45742481909489-π/2
    2.91484963818977-1.57079632675     		φ = 1.34405331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85835812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.180298°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34405331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.008582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41721 KachelY 10105 0.85835812 1.34405331 49.180298 77.008582
    Oben rechts KachelX + 1 41722 KachelY 10105 0.85845400 1.34405331 49.185791 77.008582
    Unten links KachelX 41721 KachelY + 1 10106 0.85835812 1.34403176 49.180298 77.007347
    Unten rechts KachelX + 1 41722 KachelY + 1 10106 0.85845400 1.34403176 49.185791 77.007347
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34405331-1.34403176) × R
    2.15500000000368e-05 × 6371000     		dl = 137.295050000235m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34405331-1.34403176) × R
    2.15500000000368e-05 × 6371000     		dr = 137.295050000235m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85835812-0.85845400) × cos(1.34405331) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.224805104861125 × 6371000     		do = 137.322531016042m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85835812-0.85845400) × cos(1.34403176) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.224826103209701 × 6371000     		du = 137.335357888347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34405331)-sin(1.34403176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224805104861125-0.224826103209701)×R²
    abs(0.85845400-0.85835812)×2.09983485756626e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.09983485756626e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.09983485756626e-05×40589641000000     		ar = 18854.5842957988m²