Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41720 / 10104
↖ ↑ ↗
← N 77.009817°
E 49.174805°		 ← 137.30 m → N 77.009817°
E 49.180298°		 →
↑
137.30 m
↓
↑
137.30 m
↓
N 77.008582°
E 49.174805°		 ← 137.31 m →
18 851 m²		 N 77.008582°
E 49.180298°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636604309082031 y=0.154182434082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636604309082031 × 216)
    floor (0.636604309082031 × 65536)
    floor (41720.5)     		tx = 41720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154182434082031 × 216)
    floor (0.154182434082031 × 65536)
    floor (10104.5)     		ty = 10104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41720 / 10104 ti = "16/41720/10104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41720/10104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41720 ÷ 216
    41720 ÷ 65536     		x = 0.6365966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10104 ÷ 216
    10104 ÷ 65536     		y = 0.1541748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6365966796875 × 2 - 1) × π
    0.273193359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.85826225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1541748046875 × 2 - 1) × π
    0.691650390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.17288378597791
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85826225} λ = 0.85826225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17288378597791))-π/2
    2×atan(8.78357751039576)-π/2
    2×1.45743559505121-π/2
    2.91487119010243-1.57079632675     		φ = 1.34407486
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85826225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.174805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34407486 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.009817°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41720 KachelY 10104 0.85826225 1.34407486 49.174805 77.009817
    Oben rechts KachelX + 1 41721 KachelY 10104 0.85835812 1.34407486 49.180298 77.009817
    Unten links KachelX 41720 KachelY + 1 10105 0.85826225 1.34405331 49.174805 77.008582
    Unten rechts KachelX + 1 41721 KachelY + 1 10105 0.85835812 1.34405331 49.180298 77.008582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34407486-1.34405331) × R
    2.15500000000368e-05 × 6371000     		dl = 137.295050000235m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34407486-1.34405331) × R
    2.15500000000368e-05 × 6371000     		dr = 137.295050000235m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85826225-0.85835812) × cos(1.34407486) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.224784106408149 × 6371000     		do = 137.295383084473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85826225-0.85835812) × cos(1.34405331) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.224805104861125 × 6371000     		du = 137.30820868274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34407486)-sin(1.34405331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224784106408149-0.224805104861125)×R²
    abs(0.85835812-0.85826225)×2.09984529757068e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.09984529757068e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.09984529757068e-05×40589641000000     		ar = 18850.8569315464m²