Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4172 / 12508
↖ ↑ ↗
← N 39.130060°
W134.165039°		 ← 947.59 m → N 39.130060°
W134.154053°		 →
↑
947.69 m
↓
↑
947.69 m
↓
N 39.121538°
W134.165039°		 ← 947.71 m →
898 077 m²		 N 39.121538°
W134.154053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12508 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127334594726562 y=0.381729125976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127334594726562 × 215)
    floor (0.127334594726562 × 32768)
    floor (4172.5)     		tx = 4172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381729125976562 × 215)
    floor (0.381729125976562 × 32768)
    floor (12508.5)     		ty = 12508
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4172 / 12508 ti = "15/4172/12508"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4172/12508.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4172 ÷ 215
    4172 ÷ 32768     		x = 0.1273193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12508 ÷ 215
    12508 ÷ 32768     		y = 0.3817138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1273193359375 × 2 - 1) × π
    -0.745361328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.34162167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3817138671875 × 2 - 1) × π
    0.236572265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.743213691709351
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34162167} λ = -2.34162167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.743213691709351))-π/2
    2×atan(2.10268203990061)-π/2
    2×1.1268723572537-π/2
    2.25374471450741-1.57079632675     		φ = 0.68294839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34162167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.165039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68294839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.130060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4172 KachelY 12508 -2.34162167 0.68294839 -134.165039 39.130060
    Oben rechts KachelX + 1 4173 KachelY 12508 -2.34142993 0.68294839 -134.154053 39.130060
    Unten links KachelX 4172 KachelY + 1 12509 -2.34162167 0.68279964 -134.165039 39.121538
    Unten rechts KachelX + 1 4173 KachelY + 1 12509 -2.34142993 0.68279964 -134.154053 39.121538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68294839-0.68279964) × R
    0.00014874999999992 × 6371000     		dl = 947.686249999489m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68294839-0.68279964) × R
    0.00014874999999992 × 6371000     		dr = 947.686249999489m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34162167--2.34142993) × cos(0.68294839) × R
    0.000191739999999996 × 0.775715414654103 × 6371000     		do = 947.594976542389m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34162167--2.34142993) × cos(0.68279964) × R
    0.000191739999999996 × 0.775809279649497 × 6371000     		du = 947.709639724824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68294839)-sin(0.68279964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775715414654103-0.775809279649497)×R²
    abs(-2.34142993--2.34162167)×9.38649953934334e-05×R²
    0.000191739999999996×9.38649953934334e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.38649953934334e-05×40589641000000     		ar = 898077.06385418m²