Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4172 / 12500
↖ ↑ ↗
← N 39.198205°
W134.165039°		 ← 946.68 m → N 39.198205°
W134.154053°		 →
↑
946.73 m
↓
↑
946.73 m
↓
N 39.189691°
W134.165039°		 ← 946.79 m →
896 303 m²		 N 39.189691°
W134.154053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127334594726562 y=0.381484985351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127334594726562 × 215)
    floor (0.127334594726562 × 32768)
    floor (4172.5)     		tx = 4172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381484985351562 × 215)
    floor (0.381484985351562 × 32768)
    floor (12500.5)     		ty = 12500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4172 / 12500 ti = "15/4172/12500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4172/12500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4172 ÷ 215
    4172 ÷ 32768     		x = 0.1273193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12500 ÷ 215
    12500 ÷ 32768     		y = 0.3814697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1273193359375 × 2 - 1) × π
    -0.745361328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.34162167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3814697265625 × 2 - 1) × π
    0.237060546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.744747672497192
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34162167} λ = -2.34162167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.744747672497192))-π/2
    2×atan(2.10590998892568)-π/2
    2×1.12746703549473-π/2
    2.25493407098947-1.57079632675     		φ = 0.68413774
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34162167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.165039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68413774 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.198205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4172 KachelY 12500 -2.34162167 0.68413774 -134.165039 39.198205
    Oben rechts KachelX + 1 4173 KachelY 12500 -2.34142993 0.68413774 -134.154053 39.198205
    Unten links KachelX 4172 KachelY + 1 12501 -2.34162167 0.68398914 -134.165039 39.189691
    Unten rechts KachelX + 1 4173 KachelY + 1 12501 -2.34142993 0.68398914 -134.154053 39.189691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68413774-0.68398914) × R
    0.000148600000000054 × 6371000     		dl = 946.730600000346m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68413774-0.68398914) × R
    0.000148600000000054 × 6371000     		dr = 946.730600000346m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34162167--2.34142993) × cos(0.68413774) × R
    0.000191739999999996 × 0.774964287767965 × 6371000     		do = 946.677418310847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34162167--2.34142993) × cos(0.68398914) × R
    0.000191739999999996 × 0.775058195158094 × 6371000     		du = 946.792133281653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68413774)-sin(0.68398914))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.774964287767965-0.775058195158094)×R²
    abs(-2.34142993--2.34162167)×9.39073901287113e-05×R²
    0.000191739999999996×9.39073901287113e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.39073901287113e-05×40589641000000     		ar = 896302.783979811m²