Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 4172 / 12459
↖ ↑ ↗
← N 39.546412°
W134.165039°		 ← 941.97 m → N 39.546412°
W134.154053°		 →
↑
942.08 m
↓
↑
942.08 m
↓
N 39.537940°
W134.165039°		 ← 942.08 m →
887 463 m²		 N 39.537940°
W134.154053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127334594726562 y=0.380233764648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127334594726562 × 215)
    floor (0.127334594726562 × 32768)
    floor (4172.5)     		tx = 4172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.380233764648438 × 215)
    floor (0.380233764648438 × 32768)
    floor (12459.5)     		ty = 12459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4172 / 12459 ti = "15/4172/12459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4172/12459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4172 ÷ 215
    4172 ÷ 32768     		x = 0.1273193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12459 ÷ 215
    12459 ÷ 32768     		y = 0.380218505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1273193359375 × 2 - 1) × π
    -0.745361328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.34162167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.380218505859375 × 2 - 1) × π
    0.23956298828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.752609324034882
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34162167} λ = -2.34162167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.752609324034882))-π/2
    2×atan(2.12253116878375)-π/2
    2×1.13050571106339-π/2
    2.26101142212677-1.57079632675     		φ = 0.69021510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34162167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.165039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69021510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.546412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4172 KachelY 12459 -2.34162167 0.69021510 -134.165039 39.546412
    Oben rechts KachelX + 1 4173 KachelY 12459 -2.34142993 0.69021510 -134.154053 39.546412
    Unten links KachelX 4172 KachelY + 1 12460 -2.34162167 0.69006723 -134.165039 39.537940
    Unten rechts KachelX + 1 4173 KachelY + 1 12460 -2.34142993 0.69006723 -134.154053 39.537940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69021510-0.69006723) × R
    0.000147869999999939 × 6371000     		dl = 942.079769999611m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69021510-0.69006723) × R
    0.000147869999999939 × 6371000     		dr = 942.079769999611m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34162167--2.34142993) × cos(0.69021510) × R
    0.000191739999999996 × 0.771109078008257 × 6371000     		do = 941.967988366819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34162167--2.34142993) × cos(0.69006723) × R
    0.000191739999999996 × 0.771203218859411 × 6371000     		du = 942.082988527903m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69021510)-sin(0.69006723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771109078008257-0.771203218859411)×R²
    abs(-2.34142993--2.34162167)×9.41408511535569e-05×R²
    0.000191739999999996×9.41408511535569e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.41408511535569e-05×40589641000000     		ar = 887463.157107875m²