Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41719 / 10109
↖ ↑ ↗
← N 77.003641°
E 49.169312°		 ← 137.36 m → N 77.003641°
E 49.174805°		 →
↑
137.36 m
↓
↑
137.36 m
↓
N 77.002406°
E 49.169312°		 ← 137.37 m →
18 868 m²		 N 77.002406°
E 49.174805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636589050292969 y=0.154258728027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636589050292969 × 216)
    floor (0.636589050292969 × 65536)
    floor (41719.5)     		tx = 41719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154258728027344 × 216)
    floor (0.154258728027344 × 65536)
    floor (10109.5)     		ty = 10109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41719 / 10109 ti = "16/41719/10109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41719/10109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41719 ÷ 216
    41719 ÷ 65536     		x = 0.636581420898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10109 ÷ 216
    10109 ÷ 65536     		y = 0.154251098632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636581420898438 × 2 - 1) × π
    0.273162841796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.85816638
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154251098632812 × 2 - 1) × π
    0.691497802734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.1724044169817
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85816638} λ = 0.85816638}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1724044169817))-π/2
    2×atan(8.7793679447098)-π/2
    2×1.45738170520134-π/2
    2.91476341040267-1.57079632675     		φ = 1.34396708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85816638} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.169312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34396708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.003641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41719 KachelY 10109 0.85816638 1.34396708 49.169312 77.003641
    Oben rechts KachelX + 1 41720 KachelY 10109 0.85826225 1.34396708 49.174805 77.003641
    Unten links KachelX 41719 KachelY + 1 10110 0.85816638 1.34394552 49.169312 77.002406
    Unten rechts KachelX + 1 41720 KachelY + 1 10110 0.85826225 1.34394552 49.174805 77.002406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34396708-1.34394552) × R
    2.15600000001981e-05 × 6371000     		dl = 137.358760001262m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34396708-1.34394552) × R
    2.15600000001981e-05 × 6371000     		dr = 137.358760001262m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85816638-0.85826225) × cos(1.34396708) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.22488912686046 × 6371000     		do = 137.359528292345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85816638-0.85826225) × cos(1.34394552) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.224910134534988 × 6371000     		du = 137.372359523022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34396708)-sin(1.34394552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22488912686046-0.224910134534988)×R²
    abs(0.85826225-0.85816638)×2.10076745277843e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.10076745277843e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.10076745277843e-05×40589641000000     		ar = 18868.4157220715m²