Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41718 / 10099
↖ ↑ ↗
← N 77.015989°
E 49.163818°		 ← 137.25 m → N 77.015989°
E 49.169312°		 →
↑
137.23 m
↓
↑
137.23 m
↓
N 77.014755°
E 49.163818°		 ← 137.26 m →
18 835 m²		 N 77.014755°
E 49.169312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41718 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636573791503906 y=0.154106140136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636573791503906 × 216)
    floor (0.636573791503906 × 65536)
    floor (41718.5)     		tx = 41718
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154106140136719 × 216)
    floor (0.154106140136719 × 65536)
    floor (10099.5)     		ty = 10099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41718 / 10099 ti = "16/41718/10099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41718/10099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41718 ÷ 216
    41718 ÷ 65536     		x = 0.636566162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10099 ÷ 216
    10099 ÷ 65536     		y = 0.154098510742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636566162109375 × 2 - 1) × π
    0.27313232421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.85807050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154098510742188 × 2 - 1) × π
    0.691802978515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.17336315497411
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85807050} λ = 0.85807050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17336315497411))-π/2
    2×atan(8.78778909450074)-π/2
    2×1.45748945973495-π/2
    2.9149789194699-1.57079632675     		φ = 1.34418259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85807050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.163818°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34418259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.015989°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41718 KachelY 10099 0.85807050 1.34418259 49.163818 77.015989
    Oben rechts KachelX + 1 41719 KachelY 10099 0.85816638 1.34418259 49.169312 77.015989
    Unten links KachelX 41718 KachelY + 1 10100 0.85807050 1.34416105 49.163818 77.014755
    Unten rechts KachelX + 1 41719 KachelY + 1 10100 0.85816638 1.34416105 49.169312 77.014755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34418259-1.34416105) × R
    2.15399999998755e-05 × 6371000     		dl = 137.231339999207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34418259-1.34416105) × R
    2.15399999998755e-05 × 6371000     		dr = 137.231339999207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85807050-0.85816638) × cos(1.34418259) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.224679132066268 × 6371000     		do = 137.245580347864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85807050-0.85816638) × cos(1.34416105) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.224700121296721 × 6371000     		du = 137.25840165035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34418259)-sin(1.34416105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224679132066268-0.224700121296721)×R²
    abs(0.85816638-0.85807050)×2.09892304530723e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.09892304530723e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.09892304530723e-05×40589641000000     		ar = 18835.2746431746m²