Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 41717 / 10102
↖ ↑ ↗
← N 77.012286°
E 49.158325°		 ← 137.27 m → N 77.012286°
E 49.163818°		 →
↑
137.30 m
↓
↑
137.30 m
↓
N 77.011052°
E 49.158325°		 ← 137.28 m →
18 847 m²		 N 77.011052°
E 49.163818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41717 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636558532714844 y=0.154151916503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636558532714844 × 216)
    floor (0.636558532714844 × 65536)
    floor (41717.5)     		tx = 41717
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154151916503906 × 216)
    floor (0.154151916503906 × 65536)
    floor (10102.5)     		ty = 10102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41717 / 10102 ti = "16/41717/10102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41717/10102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41717 ÷ 216
    41717 ÷ 65536     		x = 0.636550903320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10102 ÷ 216
    10102 ÷ 65536     		y = 0.154144287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636550903320312 × 2 - 1) × π
    0.273101806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.85797463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154144287109375 × 2 - 1) × π
    0.69171142578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.17307553357639
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85797463} λ = 0.85797463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17307553357639))-π/2
    2×atan(8.78526190177328)-π/2
    2×1.45745714394402-π/2
    2.91491428788805-1.57079632675     		φ = 1.34411796
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85797463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.158325°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34411796 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.012286°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41717 KachelY 10102 0.85797463 1.34411796 49.158325 77.012286
    Oben rechts KachelX + 1 41718 KachelY 10102 0.85807050 1.34411796 49.163818 77.012286
    Unten links KachelX 41717 KachelY + 1 10103 0.85797463 1.34409641 49.158325 77.011052
    Unten rechts KachelX + 1 41718 KachelY + 1 10103 0.85807050 1.34409641 49.163818 77.011052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34411796-1.34409641) × R
    2.15500000000368e-05 × 6371000     		dl = 137.295050000235m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34411796-1.34409641) × R
    2.15500000000368e-05 × 6371000     		dr = 137.295050000235m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85797463-0.85807050) × cos(1.34411796) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.224742109189037 × 6371000     		do = 137.269731696665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85797463-0.85807050) × cos(1.34409641) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.224763107850783 × 6371000     		du = 137.282557422446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34411796)-sin(1.34409641))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224742109189037-0.224763107850783)×R²
    abs(0.85807050-0.85797463)×2.09986617465407e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.09986617465407e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.09986617465407e-05×40589641000000     		ar = 18847.3351321599m²