Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 41712 / 10094
↖ ↑ ↗
← N 77.022159°
E 49.130859°		 ← 137.17 m → N 77.022159°
E 49.136352°		 →
↑
137.17 m
↓
↑
137.17 m
↓
N 77.020925°
E 49.130859°		 ← 137.18 m →
18 816 m²		 N 77.020925°
E 49.136352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636482238769531 y=0.154029846191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636482238769531 × 216)
    floor (0.636482238769531 × 65536)
    floor (41712.5)     		tx = 41712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154029846191406 × 216)
    floor (0.154029846191406 × 65536)
    floor (10094.5)     		ty = 10094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41712 / 10094 ti = "16/41712/10094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41712/10094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41712 ÷ 216
    41712 ÷ 65536     		x = 0.636474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10094 ÷ 216
    10094 ÷ 65536     		y = 0.154022216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636474609375 × 2 - 1) × π
    0.27294921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.85749526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154022216796875 × 2 - 1) × π
    0.69195556640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.17384252397031
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85749526} λ = 0.85749526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17384252397031))-π/2
    2×atan(8.79200269799254)-π/2
    2×1.45754329926368-π/2
    2.91508659852736-1.57079632675     		φ = 1.34429027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85749526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.130859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34429027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.022159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41712 KachelY 10094 0.85749526 1.34429027 49.130859 77.022159
    Oben rechts KachelX + 1 41713 KachelY 10094 0.85759113 1.34429027 49.136352 77.022159
    Unten links KachelX 41712 KachelY + 1 10095 0.85749526 1.34426874 49.130859 77.020925
    Unten rechts KachelX + 1 41713 KachelY + 1 10095 0.85759113 1.34426874 49.136352 77.020925
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34429027-1.34426874) × R
    2.15299999999363e-05 × 6371000     		dl = 137.167629999594m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34429027-1.34426874) × R
    2.15299999999363e-05 × 6371000     		dr = 137.167629999594m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85749526-0.85759113) × cos(1.34429027) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.224574203839665 × 6371000     		do = 137.167177162752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85749526-0.85759113) × cos(1.34426874) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.224595183846626 × 6371000     		du = 137.179991494418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34429027)-sin(1.34426874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224574203839665-0.224595183846626)×R²
    abs(0.85759113-0.85749526)×2.09800069611299e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.09800069611299e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.09800069611299e-05×40589641000000     		ar = 18815.7754616786m²