Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41711 / 10093
↖ ↑ ↗
← N 77.023392°
E 49.125366°		 ← 137.15 m → N 77.023392°
E 49.130859°		 →
↑
137.17 m
↓
↑
137.17 m
↓
N 77.022159°
E 49.125366°		 ← 137.17 m →
18 814 m²		 N 77.022159°
E 49.130859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636466979980469 y=0.154014587402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636466979980469 × 216)
    floor (0.636466979980469 × 65536)
    floor (41711.5)     		tx = 41711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154014587402344 × 216)
    floor (0.154014587402344 × 65536)
    floor (10093.5)     		ty = 10093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41711 / 10093 ti = "16/41711/10093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41711/10093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41711 ÷ 216
    41711 ÷ 65536     		x = 0.636459350585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10093 ÷ 216
    10093 ÷ 65536     		y = 0.154006958007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636459350585938 × 2 - 1) × π
    0.272918701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.85739939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154006958007812 × 2 - 1) × π
    0.691986083984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.17393839776955
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85739939} λ = 0.85739939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17393839776955))-π/2
    2×atan(8.79284566110252)-π/2
    2×1.4575540641518-π/2
    2.9151081283036-1.57079632675     		φ = 1.34431180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85739939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.125366°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34431180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.023392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41711 KachelY 10093 0.85739939 1.34431180 49.125366 77.023392
    Oben rechts KachelX + 1 41712 KachelY 10093 0.85749526 1.34431180 49.130859 77.023392
    Unten links KachelX 41711 KachelY + 1 10094 0.85739939 1.34429027 49.125366 77.022159
    Unten rechts KachelX + 1 41712 KachelY + 1 10094 0.85749526 1.34429027 49.130859 77.022159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34431180-1.34429027) × R
    2.15300000001584e-05 × 6371000     		dl = 137.167630001009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34431180-1.34429027) × R
    2.15300000001584e-05 × 6371000     		dr = 137.167630001009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85739939-0.85749526) × cos(1.34431180) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.224553223728605 × 6371000     		do = 137.154362767502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85739939-0.85749526) × cos(1.34429027) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.224574203839665 × 6371000     		du = 137.167177162752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34431180)-sin(1.34429027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224553223728605-0.224574203839665)×R²
    abs(0.85749526-0.85739939)×2.09801110606922e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.09801110606922e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.09801110606922e-05×40589641000000     		ar = 18814.0177457884m²